Приближенное вычисление определенных интегралов

Реферат

Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Приближенное вычисление определенных интегралов

формулой трапеций и формулой парабол.

Приближенное вычисление определенных интегралов 1

1. Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл Приближенное вычисление определенных интегралов 2 , где f(x) — непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0 12<…k-1 k<…n=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1).

Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(x k-1 ) и f(xk ) — соответственно основания трапеций; xk — xk-1 = (b-a)/n — их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

Приближенное вычисление определенных интегралов 3

формулой трапеций.

Рассмотрим в качестве примера интеграл Приближенное вычисление определенных интегралов 4 . Точное значение этого интеграла находится просто:

Приближенное вычисление определенных интегралов 5

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x 0 =0, x1 =0,2, x2 =0,4, x3 =0,6, x4 =0,8, x5 =1=b и соответственно f(x0 )=0, f(x1 )=0,04, f(x2 )=0,16, f(x3 )=0,36, f(x4 )=0,64, f(x5 )=1. Следовательно,

Приближенное вычисление определенных интегралов 6

Точное значение интеграла равно 0,3333…., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна.

Если увеличить число n, то точность будет большей. Так, например, при n=10

Приближенное вычисление определенных интегралов 7

18 стр., 8944 слов

Берегозащитные сооружения их значения, и модернизация в пределах г.Сочи

... береговой зоны и берегозащитных сооружений на побережье Адлерского района г. Сочи, предлагаются варианты применения современных берегозащитных сооружений. Глава 1. Современная концепция берегозащитных сооружений. Мировой опыт морской ... Н.А., огромную признательность выражаю своему дипломному руководителю к.г.н. Рыбка В.Г. Реферат. В работе 59 страниц, 6 таблиц, 6 рисунков наименование использованной ...

т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем

Приближенное вычисление определенных интегралов 8

где k -наибольшее значение Приближенное вычисление определенных интегралов 9 на отрезке [a, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.

Вычислим по формуле трапеции интеграл Приближенное вычисление определенных интегралов 10 при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х0 =0, х1 =0,1, …, х9 =0,9, х10 =1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=Приближенное вычисление определенных интегралов 11 в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000.

Приближенное вычисление определенных интегралов 12

По формуле трапеций получаем

Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1+x), то На отрезке [0, 1] имеем Приближенное вычисление определенных интегралов 13. Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Приближенное вычисление определенных интегралов 14

Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Приближенное вычисление определенных интегралов 15

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла.

  1. Формула парабол.

Докажем предварительно две леммы.

Через любые три точки М

у=Ах 2 +Вх+С (1)

Доказательство.

Доказательство  1

Так как числа х 1 , х2 , х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Доказательство  2

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно.

Отметим, что если А0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах

Площадь криволинейной трапеции 1(2)

4 стр., 1840 слов

Барометрическая формула. Закон Больцмана распределения частиц

... 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана. Барометрическая формула показывает, что плотность ... паров воды. Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования -- метода определения разности высот между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению ( ...

Доказательство.

2Аh 2 +2С=у 1 3 ; С=у 2 (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Доказательство  1

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x).

Разобьем отрезок [a, b] на 2 равных отрезков точками a=x 0 12<…2k 2k+1 2k+2 <…2n-1 2n =b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М 0 , М 1 , М 2 , …, М 2 k , М 2k+1 , М 2k+2 , …, М 2n-2 , М 2n-1 , М 2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М 0 М 1 М 2 , …, М 2 k М 2k+1 М 2k+2 , …, М 2n-2 М 2n-1 М 2n

проведем кривую вида у=Ах 2 +Вх+С (см. лемму 1.1).

В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3).

Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k , x2k+2 ], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

Доказательство  2

где y k =f(xk ), k=0, 1, 2, …,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

Доказательство  3

или в развернутом виде

Доказательство  4

формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х 1 , х3 , …, х2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2 , х4 , …, х2n-2 — коэффициент 2 и в двух граничных точках х0 =а, х1 , х2n =b — коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

Доказательство  5

5 стр., 2059 слов

Microsoft Excel, его функции и возможности

... работы Excel предоставляет в распоряжение пользователя мощный аппарат функций рабочего листа, позволяющих осуществлять практически все возможные расчёты. В целом MS Excel содержит более 400 функций рабочего листа (встроенных функций). Все они в соответствии ...

где М — наибольшее значение Доказательство  6 на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Доказательство  7

Так как n 4 растет быстрее, чем n2 , то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

Доказательство  8 , но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х0 =0, х1 =1/4, х2 =1/2, х3 =3/4, х4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках у0 =1,0000, у1 =0,8000, у2 =0,6667, у3 =0,5714, у4 =0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Доказательство  9

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f (4) (x)=24/(1+x)5 , откуда следует, что на отрезке [0, 1] Доказательство  10. Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880 44 ),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл Доказательство  11 по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f (4) (x).

Последовательно дифференцируя функцию f(x)= , получаем

f (4) (x)=4(4х4 -12х2 +3)

Так как на отрезке [0, 1] 1, 4х4 -12х2 +35, то Доказательство  12. Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n4 <1/1000, откуда n4 >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х 0 =0, х1 =1/4, х2 =1/2, х3 =3/4, х4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)= в этих точках у0 =1,0000, у1 =0,9394, у2 =0,7788, у3 =0,5698, у4 =0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Доказательство  13

10 стр., 4576 слов

Теория погрешностей

... погрешностей измерения. Равновероятное распределение Плотность распределения (13) Интегральная функция распределения (14) Числовые характеристики распределения - математическое ожидание ; среднеквадратическое отклонение . Доверительная вероятность (15) Отсюда . Треугольное распределение (Симпсона) ... результата наблюдения определяется, как правило, по формуле (32) Однако, ввиду нелинейности операции ...

Таким образом, Доказательство  14 с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы — эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.