Приближенное вычисление определенных интегралов

метки: Формула, Вычисление, Точность, Наперед, Заданный, Интеграл, Отрезка, Точка

Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Приближенное вычисление определенных интегралов

формулой трапеций и формулой парабол.

1. Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) — непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x₀ 12<…k_-1 k<…n=b и с помощью прямых х=х_k построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1).

Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(x _{k -1} ) и f(x_k ) — соответственно основания трапеций; x_k — x_{k -1} = (b-a)/n — их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

формулой трапеций.

Рассмотрим в качестве примера интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто:

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x ₀ =0, x₁ =0,2, x₂ =0,4, x₃ =0,6, x₄ =0,8, x₅ =1=b и соответственно f(x₀ )=0, f(x₁ )=0,04, f(x₂ )=0,16, f(x₃ )=0,36, f(x₄ )=0,64, f(x₅ )=1. Следовательно,

Точное значение интеграла равно 0,3333…., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна.

Если увеличить число n, то точность будет большей. Так, например, при n=10

Берегозащитные сооружения их значения, и модернизация в пределах г.Сочи

... береговой зоны и берегозащитных сооружений на побережье Адлерского района г. Сочи, предлагаются варианты применения современных берегозащитных сооружений. Глава 1. Современная концепция берегозащитных сооружений. Мировой опыт морской ... Н.А., огромную признательность выражаю своему дипломному руководителю к.г.н. Рыбка В.Г. Реферат. В работе 59 страниц, 6 таблиц, 6 рисунков наименование использованной ...

т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем

где k -наибольшее значение на отрезке [a, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.

Вычислим по формуле трапеции интеграл при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х₀ =0, х₁ =0,1, …, х₉ =0,9, х₁₀ =1. Вычислим приближенно значения функции f(x)= в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000.

По формуле трапеций получаем

Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1+x), то На отрезке [0, 1] имеем . Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла.

1. Формула парабол.

Докажем предварительно две леммы.

Через любые три точки М

у=Ах ² +Вх+С (1)

Доказательство.

Так как числа х ₁ , х₂ , х₃ различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Технология аэродинамической трубы для болидов Формулы

... переносить результаты, полученные для модели в лабораторных условиях, на полноразмерный натурный объект. При соблюдении этих условий аэродинамические коэффициенты ... может понравиться!) аэродинамической трубе аэродинамические испытания "Аэродинамика – первоочередной фактор, определяющий техническое совершенство современного болида Формулы 1. Следовательно, аэродинамическая труба – первостепенная ...

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно.

Отметим, что если А0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах

(2)

Доказательство.

2Аh ² +2С=у ₁ +у ₃ ; С=у ₂ (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x).

Разобьем отрезок [a, b] на 2 равных отрезков точками a=x ₀ 12<…2_k 2_{k +1} 2_{k +2} <…2_{n -1} 2_n =b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=x_k на 2n соответствующих частей точками М ₀ , М ₁ , М ₂ , …, М _{2 k} , М _2k+1 , М _2k+2 , …, М _2n-2 , М _2n-1 , М _2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М ₀ М ₁ М ₂ , …, М _{2 k} М _2k+1 М _2k+2 , …, М _2n-2 М _2n-1 М _2n

проведем кривую вида у=Ах ² +Вх+С (см. лемму 1.1).

В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3).

Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x_{2 k} , x_{2 k +2} ], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где y _k =f(x_k ), k=0, 1, 2, …,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х ₁ , х₃ , …, х_{2 n -1} имеет коэффициент 4, в четных точках х₂ , х₄ , …, х_{2 n -2} — коэффициент 2 и в двух граничных точках х₀ =а, х₁ , х_{2 n} =b — коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

Барометрическая формула. Закон Больцмана распределения частиц

... 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана. Барометрическая формула показывает, что ... этого значения в распределение Больцмана и суммирования по всевозможным значениям кинетической и внутренней энергий частиц получается барометрическая формула, выражающая закон уменьшения ...

В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М — наибольшее значение на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Так как n ⁴ растет быстрее, чем n² , то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

, но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х₀ =0, х₁ =1/4, х₂ =1/2, х₃ =3/4, х₄ =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках у₀ =1,0000, у₁ =0,8000, у₂ =0,6667, у₃ =0,5714, у₄ =0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f ⁽⁴⁾ (x)=24/(1+x)⁵ , откуда следует, что на отрезке [0, 1] . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880 4⁴ ),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f ⁽⁴⁾ (x).

Последовательно дифференцируя функцию f(x)= , получаем

f ⁽⁴⁾ (x)=4(4х⁴ -12х² +3)

Так как на отрезке [0, 1] 1, 4х⁴ -12х² +35, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n⁴ <1/1000, откуда n⁴ >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Теория погрешностей

... погрешностей измерения. Равновероятное распределение Плотность распределения (13) Интегральная функция распределения (14) Числовые характеристики распределения - математическое ожидание ; среднеквадратическое отклонение . Доверительная вероятность (15) Отсюда . Треугольное распределение (Симпсона) ... результата наблюдения определяется, как правило, по формуле (32) Однако, ввиду нелинейности операции ...

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х ₀ =0, х₁ =1/4, х₂ =1/2, х₃ =3/4, х₄ =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)= в этих точках у₀ =1,0000, у₁ =0,9394, у₂ =0,7788, у₃ =0,5698, у₄ =0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы — эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.