Основные понятия и законы фильтрации нефти, газа, воды

метки: Фильтрация, Пористый, Закон, Скорость, Движение, Следовать, Получить, Комплексный

Основные понятия и законы фильтрации нефти, газа, воды

1. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ФЛЮИДОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Нефть и природные газы заключены в недрах Земли. Скопления их теснейшим образом связаны с вмещающими горными породами, а также со структурными и другими особенностями пластов. Горные породы, которые могут служить вместилищем нефти и газа и в то же время отдавать их при разработке, называются породами-коллекторами.

Природные жидкости (нефть, газ, подземные воды) находятся в основном в пустотах — порах и трещинах осадочных горных пород. Их движение происходит либо вследствие естественных процессов (миграция углеводородов), либо в результате деятельности человека, связанной с извлечением полезных ископаемых и эксплуатацией гидротехнических сооружений. Движение жидкостей, газов и их смесей через твердые тела (вообще говоря, деформируемые) по связанным между собой порам или трещинам называется фильтрацией. Теория фильтрации, являющаяся разделом механики сплошных сред, получила большое развитие в связи с потребностями гидротехники, гидромелиорации, гидрогеологии, горного дела, нефтегазодобычи, химической технологии и т. д. Теоретической основой разработки нефтегазоводоносных пластов является нефтегазовая подземная гидромеханика, изучающая фильтрацию нефти, газа и воды в пористых и (или) трещиноватых горных породах.

Движение флюидов в проницаемых толщах осадочных горных пород обусловливает особенности, существенно отличающие методы изучения нефтегазовой подземной гидромеханики не только от обычной гидродинамики (движение жидкостей в открытом пространстве), но и от способов исследования других процессов фильтрации (например, в химической технологии или гидротехнике).

Поровое пространство осадочных горных пород — сложная нерегулярная система сообщающихся межзеренных пустот, в которой трудно выделить отдельные поровые каналы (рис. 1.1).

Размеры пор в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров (мкм).

Еще сложнее поровое пространство карбонатных пород (известняков, доломитов), которое характеризуется более неоднородной системой первичных пор, а также наличием трещин, каналов и каверн, возникших после образования самой породы.

Строение нефтяных и газовых залежей осложняется значительной неоднородностью пород, слоистостью их строения, наличием тектонических нарушений (разрывов сплошности породы).

Разведка месторождений, исследование пластов, извлечение нефти и газа осуществляются через отдельные скважины диаметром 100—200 мм, отстоящие друг от друга на сотни метров.

Курсовая работа введение экологические последствия добычи нефти газа

... при добыче нефти; рассмотреть методы определения основных загрязняющих веществ образующихся при добыче нефти. 1 Характеристика технологического процесса добычи нефти Бурение- это процесс сооружения скважины путем разрушения горной породы. Скважиной называется цилиндрическая горная выработка, ...

Теорию фильтрации нефти и газа в природных пластах характеризуют следующие особенности.

1. Невозможность изучать движение флюидов в пластах прямыми обычными методами гидродинамики, т. е. путем решения уравнений движения вязкой жидкости для области, представленной совокупностью всех пор.

2. Сочетание разных масштабов, определяемых различными характерными размерами, отличающимися на многие порядки: размером пор (единицы и десятки микрометров), диаметром скважин (десятки сантиметров), расстоянием между скважинами (сотни метров), протяженностью месторождений (десятки километров).

Масштаб неоднородности пластов вдоль и поперек их простирания может иметь практически любые значения.

3. Ограниченность и неточность сведений о строении и свойствах пластов и пластовых флюидов, не позволяющие построить однозначную модель пластовой залежи.

Эти особенности приводят к формулировке основных модельных представлений и разработке методов подземной гидравлики, направленных прежде всего на установление качественных закономерностей процессов и на создание расчетных схем, мало чувствительных к точности исходных данных. При этом познавательная и практическая ценность получаемых результатов в значительной степени определяется четкостью постановки расчетной задачи и глубиной предварительного анализа имеющихся данных.

2. ПОРИСТАЯ СРЕДА И ЕЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Под пористой средой подразумевается множество твердых частиц, тесно прилегающих друг к другу, сцементированных или несцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) может быть заполнено жидкостью или газом.

Поровое пространство природного пласта ввиду сложности и нерегулярности его структуры можно рассматривать как систему с большим числом однородных элементов, слабо связанных между собой. Из статистической физики известно, что такие системы могут быть описаны как некоторые сплошные среды, свойства которых не выражаются через свойства составляющих элементов, а являются усредненными характеристиками достаточно больших объемов среды. Таким образом, в теории фильтрации, как и в гидродинамике, принимается, что пористая среда и насыщающие ее флюиды образуют сплошную среду, т. е. заполняют любой выделенный элементарный объем непрерывно. Это накладывает определенные ограничения на понятие элементарного объема порового пространства. Под элементарным объемом понимают объем, в котором заключено большое число пор и зерен, так что он достаточно велик по сравнению с размерами пор и зерен породы. Для него вводятся локальные усредненные характеристики системы флюид-пористая среда. В применении к меньшим объемам выводы теории фильтрации становятся несправедливыми.

Если объем пор при изменении давления жидкости в них не изменяется, то такая пористая среда считается недеформируемой. Если же изменением объема порового пространства пренебречь нельзя, то такую пористую среду следует рассматривать как упругую. Плотные песчаники или известняки, перебитые мелкими трещинами, образуют трещиновато-пористую среду.

Одна из важнейших характеристик пористой среды — пористость, измеряемая коэффициентом пористости.

Коэффициент пористости m есть отношение объема пор Vn в некотором элементе пористой среды ко всему объему V данного элемента:

Материалы с пористой структурой

... геометрических соображений (для пористых структур с относительно несложным строением порового пространства). пористый материал неметаллический изделие б) Просвет пористого тела. Этот метод часто используют и для определения пористости материалов с анизотропной ...

m = V _м /V (1)

Наряду с пористостью иногда вводится понятие просветносте (площадной пористости), под которой понимается отношение площади просветов соп в некотором сечении пористой среды ко всей площади этого сечения со.

Просветность измеряется коэффициентом просветности

N= (2)

Можно доказать, что в данной точке пласта просветность не зависит от выбора направления сечения и равна пористости (n = m)

Коэффициент пористости одинаков для геометрически подобных сред; он не характеризует размеры пор и структуру порового пространства. Поэтому для описания пористой среды необходимо ввести также некоторый характерный размер порового пространства. Существуют различные равноценные способы определения этого размера. Естественно, например, за характерный размер принять некоторый средний размер порового канала d или отдельного зерна пористого скелета.

Первые теоретические исследования порового пространства проводились с помощью идеализированных моделей грунта, называемых идеальным и фиктивным грунтами. Под идеальным грунтом понимается модель пористой среды, поровые каналы которой представляют собой пучок тонких цилиндрических трубок (капилляров) с параллельными осями. Фиктивным грунтом называется модель пористой среды, состоящая из шариков одинакового диаметра. В конце прошлого столетия американский гидрогеолог Ч. Слихтер развил упрощенную теорию фильтрации, позволяющую сравнивать движение жидкости по поровым каналам с течением жидкости по цилиндрическим трубкам. Основываясь на модели фиктивного грунта, он рассмотрел также геометрическую задачу, позволяющую связать пористость с углами, образованными радиусами соприкасающихся шаров, моделирующих пористую среду, при их различной упаковке.

Простейшим геометрическим параметром, характеризующим размер порового пространства, является эффективный диаметр d _эф частиц грунта. Его можно определить в результате механического анализа грунта. Эффективным диаметром частиц, слагающих реальную пористую среду, называется такой диаметр шаров, образующих фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном фиктивном грунте, одинаково. Однако на практике эффективный диаметр зерен d_эф определить трудно (особенно для сцементированных песчаников).

Поэтому теория Ч. Слихтера не нашла широкого практического применения.

Для определения геометрической структуры пористой среды, существенно влияющей на фильтрационные параметры, кроме пористости и эффективного диаметра, нужны дополнительные объективные характеристики. Определенную информацию о микроструктуре порового пространства дают кривые распределения размеров пор и зерен. Поэтому предпринимались многочисленные попытки определения геометрических и гидродинамических характеристик пористой среды на основе кривых распределения. Однако зависимости характеристик пористой среды от параметров кривых распределения не могут быть универсальными.

3. СКОРОСТЬ ФИЛЬТРАЦИИ. ЗАКОН ДАРСИ — ЛИНЕЙНЫЙ ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ

Основной характеристикой фильтрационного движения является вектор скорости фильтрации , который определяется следующим образом. Выберем произвольную точку М пористого пласта, через который фильтруется жидкость, и проведем через нее элементарную площадку А со (рис. 2).

Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости Qm (элементарный массовый расход) .Тогда проекция вектора на нормаль n к выделенной площадке

Движение жидкости в пористой среде

... фильтрации отличных от воды жидкостей и газов (например, нефти или воздуха) в пористых средах, когда вкладом силы тяжести в потенциальный напор можно пренебречь, используют другую форму записи закона Дарси: p (14.7) коэффициент ...

(3)

где — плотность жидкости.

Подчеркнем, что массовый расход в (3) делится на полную площадь , а не на ее часть, занятую порами. Поэтому очевидно, что скорость фильтрации не является действительной средней скоростью движения в живом сечении фильтрационного потока. Согласно (3), скорость фильтрации w имеет размерность скорости (м/с в СИ) и обладает свойствами вектора.

Установим связь между скоростью фильтрации и действительной средней скоростью v движения. Действительное (физическое) течение флюида в каждом живом сечении пласта осуществляется через суммарную площадь активных пор . Поэтому имеем

Сравнивая последнее равенство с (3), используя (2), а также условие равенства пористости и просветности, находим

(4)

Поскольку 0<m<1, из (4) следует, что скорость фильтрации меньше действительной средней скорости v течения флюида.

Таким образом, при введении скорости фильтрации рассматривается некоторый фиктивный фильтрационный поток, в котором расходы через любое сечение равны реальному расходу флюида, поля давлений фиктивного и реального потока идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной силе сопротивления. При этом принимается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объему и связана со средней скоростью действительного движения равенством (4).

Основное соотношение теории фильтрации — закон фильтрации — устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное течение. Первые экспериментальные наблюдения за движением воды в трубах, заполненных песком, провели французские инженеры Дарси (1856 г.) и Дюпюи (1848—1863 гг.).

Этими работами было положено начало теории фильтрации. Именем Дарси назван линейный закон фильтрации, который он установил, создавая первую совершенную систему водоснабжения в Европе. Анри Дарси исследовал течение воды через вертикальные песчаные фильтры (рис. 3), что требовалось для нужд водоснабжения г. Дижона. В результате тщательно проведенных экспериментов он установил свою, получившую широкую известность, экспериментальную формулу:

(5)

где Q — объемный расход жидкости через песчаный фильтр, длина которого L, а площадь поперечного сечения ; Н = Н ₁ —H₂ — разность напоров воды над фильтром и у его основания; k_ф — коэффициент пропорциональности в формуле (5), названный коэффициентом фильтрации, который зависит как от структуры пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости. Этот коэффициент k_ф , как следует из (5), имеет размерность скорости и характеризует расход потока через единицу площади сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного градиента напора.

Коэффициент фильтрации k _ф используется обычно в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью — водой. При исследовании фильтрации нефти, газа и их смесей необходимо разделить влияние свойств пористой среды и жидкости. В этом случае формула Дарси (5) записывается обычно в несколько ином виде, а именно

(6)

(7)

где — динамический коэффициент вязкости; р* = gH = + gz — приведенное давление (очевидно, приведенное давление р* совпадает с истинным средним давлением р при z — 0); k — коэффициент проницаемости, который не зависит от свойств жидкости и является динамической характеристикой только пористой среды. Из (6) следует, что коэффициент проницаемости имеет размерность площади, так что в СИ [k] = м2. При этом проницаемость большинства горных пород выражается весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10~12—10~13 м2 (1—0,1 мкм2), проницаемость плотных песчаников—около 10~14—10-15 м2 (0,01—0,001 мкм2).

Изучение особенностей притока жидкости и газа к несовершенным ...

... работы является изучение особенностей притока жидкости и газа к несовершенным скважинам (при линейных и нелинейных законах фильтрации). В целом изучение подземной ... скважин при расчете их дебита; границы применимости закона Дарси, нелинейные законы фильтрации; понятие о гидродинамическом совершенстве скважин; методика определения коэффициента гидродинамического совершенства по исследованию скважин ...

Из сравнения (6) и (5) находим связь между коэффициентами фильтрации k _ф и проницаемости k:

(8)

Большинство фильтрационных течений, встречающихся на практике, имеет скорости порядка 10 ^-4 —10^-5 м/с и менее. Поэтому, пренебрегая скоростным напором v² /2g, под напором можно понимать величину Н = z + /pg- Тогда закон Дарси в формуле (5) или (6) можно истолковать как выражение закона сопротивления при фильтрации, который показывает, что между потерей напора АН и расходом Q существует линейная зависимость. При этом, поскольку скорость фильтрационного потока мала, силы инерции несущественны.

Коэффициент фильтрации кф или коэффициент проницаемости k определяют экспериментально при помощи специального прибора — пермеаметра, содержащего образец исследуемого грунта (рис. 4).

Общий расход Q фильтрационного потока при этом поддерживается постоянным. Напоры Н ₁ и H₂ измеряются двумя пьезометрами, соединенными с пористой средой в сечениях 1 и 2. Превышения центров сечений над плоскостью сравнения равны z₁ и z₂ , а давления — р₁ и p₂ соответственно; расстояние между этими сечениями по оси цилиндра составляет L. В соответствии с формулой (5) или (6) имеем

где градиент напора можно представить в виде

В природных условиях коэффициент проницаемости определяется в результате специального исследования скважин, в котором также используется устанавливаемая в опыте связь между изменением давления в скважинах и их дебитом.

4. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНА ДАРСИ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ

Проверке и исследованию пределов применимости закона Дарси посвящено значительное число работ. В процессе этих исследований показано, что существуют две основные группы причин отклонения от закона Дарси:

1) отклонения, связанные с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации (верхняя граница применимости закона Дарси);

2) отклонения при достаточно малых скоростях фильтрации, вызванные проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости, ее взаимодействием с твердым скелетом пористой среды (нижняя граница применимости закона Дарси).

Рассмотрим каждый из этих предельных случаев, которые приводят к нелинейным законам фильтрации.

Верхняя граница применимости закона Дарси

Наиболее полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением Re _кр числа Рейнольдса:

Механика жидкостей и газов в законах и уравнениях

... давления вдоль трубки -- в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше, и наоборот. Аналитическую связь между скоростью течения и давлением мы уста-новим в следующем параграфе. 2. Уравнение Бернулли В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости ...

Re = wd/

где d — некоторый характерный линейный размер пористой среды v — кинематический коэффициент вязкости флюида (` = ).

Многочисленные экспериментальные исследования были направлены на вывод универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления к от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана более 60 лет назад Н. Н. Павловским, который, опираясь на результаты Ч. Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равным эффективному диаметру d _эф , вывел следующую формулу для числа Рейнольдса:

(9)

Использовав эту формулу и данные экспериментов, Н. Н. Павловский установил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах

Достаточно узкий диапазон изменения значений Re _кр объясняется тем, что в опытах использовали не слишком разнообразные образцы пористых сред.

Наиболее полные опыты по определению верхней границы применимости закона Дарси были выполнены А. И. Абдулвагабовым.

Для удобства обработки этих и других опытов В. Н. Щелкачев предложил использовать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и определяемый равенством

(10)

Отсюда видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления. Сравнивая равенство (10) и закон Дарси (6) (для случая горизонтального пласта, когда р*= р), можно утверждать, что если справедлив закон Дарси, то

(11).

Зависимость параметра Дарси от числа Рейнольдса

Рис. 5.

Таким образом, равенство (11) должно выполняться при Re<Re _кр .

Введение параметра Da упрощает исследование границы применимости линейного закона фильтрации. Действительно, если по оси абсцисс откладывать lg Re, а по оси ординат lg Da, то, поскольку lg Da = 0 при Re<Re _кр , графиком зависимости lg Da от lg Re будет прямая, совпадающая с осью абсцисс до тех пор, пока Re<Re_кр . Как только на этом графике линия начнет отделяться от оси абсцисс, сразу же обнаружится нарушение закона Дарси (это соответствует значениям Da<1, lg Da<0).

Значение Re, при котором станет заметно отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим.

Для иллюстрации сказанного на рис. 5 приведен на логарифмической сетке график зависимости lg Da от lg Re, представляющий собой результат обработки опытов А. И. Абдулвагабова по формулам В. Н. Щелкачева (табл. 1).

Различные кривые на этом графике, отходящие от оси абсцисс (lg Re), соответствуют области нелинейной фильтрации (lg Da < 0) для различных образцов пористых сред.

Основываясь на этих соображениях, В. Н. Щелкачев провел критический анализ и сравнение формул, полученных разными исследователями, для определения Re в подземной гидравлике и оценил возможные критические значения числа Рейнольдса Re _кр , соответствующие верхней границе применимости закона Дарси. Результаты такого сопоставления приведены в табл. 1.

В формулы табл. 1. (графы 4—8) в качестве характерного размера входят величины, пропорциональные . Эти формулы не имеют принципиальных преимуществ друг перед другом и одинаково удобны для практического использования. Характерным для этих формул является то, что все они приводят к очень широким диапазонам изменения Re _кр для различных пористых сред. Это представляется вполне естественным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. С другой стороны, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения Re не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред; использование для этой цели коэффициентов пористости и проницаемости оказывается явно недостаточным.

Исследование нефтяных скважин при установившихся режимах фильтрации

... исследований скважин геолого-геофизических исследований, лабораторных изучений образцов породы (кернов, шлама) и проб пластовых флюидов при различных термобарических условиях (исследования РVТ, изучаемой физикой пласта), данных бурения скважин и специального моделирования процессов фильтрации ГДИС.Обработка и ...

Вместе с тем широкий диапазон изменения значений Re _кр можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это облегчает указание возможной верхней границы применимости закона Дарси при движении флюида в какой-либо пористой среде.

Итак, при значениях числа Рейнольдса Re>Re _кр линейный закон Дарси перестает быть справедливым. Первое обобщение закона Дарси на случай больших Re, основанное на опытных данных, было выполнено Дюпюи, который сформулировал двучленный закон фильтрации, носящий имя австрийского исследователя Ф. Форхгеймера, независимо установившего его несколько позднее.

В принятых сейчас обозначениях это соотношение можно представить в виде (для простейшего случая прямолинейно-параллельного течения)

(12)

где — дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально.

Первое слагаемое в правой части (12) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе — инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью поровых каналов. Из (12) следует, что при малых скоростях фильтрации квадратом скорости 2 можно пренебречь и градиент давления будет зависеть только от первого слагаемого т. е. движение будет без инерционным (по закону Дарси).

При больших скоростях фильтрации силы инерции становятся существенными и будут сопоставимы или даже преобладать над силами вязкости.

Хорошая согласованность соотношения (12) с данными промысловых и экспериментальных наблюдений была установлена в многочисленных работах советских и зарубежных исследователей. Это свидетельствует о том, что это соотношение представляет нечто большее, чем простую эмпирическую формулу, поскольку оно хорошо выполняется даже для очень больших скоростей фильтрации. Физический смысл этого заключается в том, что при больших скоростях быстропеременное движение в порах вследствие «извилистости» поровых каналов сопряжено с появлением значительных инерционных составляющих гидравлического сопротивления. С увеличением числа Рейнольдса квадратичный член в выражении (12) оказывается преобладающим, силы вязкости — пренебрежимо малы по сравнению с силами инерции, и (12) сводится тогда к квадратичному закону фильтрации, предложенному А. А. Краснопольским, который имеет место лишь в средах, состоящих из частиц достаточно крупных размеров.

Работами. Е. М. Минского и других исследователей показано, что двучленный закон фильтрации (12) является физически наиболее обоснованным и осуществляется при всех числах Рейнольдса, встречающихся в практике разработки нефтегазовых месторождений.

Следует указать, что при исследованиях фильтрационных потоков в условиях нарушения закона Дарси используются нелинейные законы и в виде одночленной, степенной формулы

Электрические двигатели и генераторы постоянного тока

... срок службы). Электродвигатель постоянного тока - электрическая машина, предназначенная для преобразования электрической энергии постоянного тока в механическую. Электродвигатели постоянного тока в конструктивном отношении не отличаются от генераторов постоянного тока, так как электрические машины постоянного тока обратимы и могут ...

(13)

где С и n — некоторые постоянные, определяемые опытным путем причем 1<n2.

При n = 2 формула (13) превращается в формулу, выражающую квадратичную зависимость между скоростью фильтрации и градиентом давления /L, т. е. в формулу Краснопольского.

Отклонения от закона Дарси при малых скоростях фильтрации

В опытах, проведенных в конце прошлого века с тонкозернистыми грунтами при малых скоростях, было обнаружено увеличение скорости фильтрации с ростом градиента давления более быстрое, что это дает линейный закон Дарси. Однако объяснение этого факта не приводилось.

Начиная с 50-х годов XX в. появилось большое число теоретических и экспериментальных работ, подтвердивших нарушения закона Дарси в области малых скоростей. Это явление заметнее всего при движении воды в глинах, но наблюдается также и при фильтрации в песках и песчаниках не только воды, но и нефтей. При этом во всех экспериментах обнаруживалась существенная нелинейность закона фильтрации при малых скоростях.

Объяснение этого явления заключается в том, что при малых скоростях фильтрации становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом породы и фильтрующимся флюидом, которое может дать преобладающий вклад в фильтрационное сопротивление. При весьма малых скоростях потока сила вязкого трения пренебрежимо мала, тогда как сила межфазного взаимодействия действия остается при этом конечной величиной, поскольку она не зависит от скорости и определяется только свойствами контактирующих фаз. В результате такого взаимодействия нефть, содержащая поверхностно-активные компоненты, в присутствии пористого тела с развитой поверхностью образует устойчивые коллоидные растворы (студнеобразные пленки), частично или полностью перекрывающие поры. Чтобы началось движение, нужно разрушить эту структуру, приложив некоторый перепад давления. В случае фильтрации воды в глинизированных породах аналогичные соображения относятся к образованию коллоидных глинистых растворов; при этом структурообразующий компонент—глинистые частицы— можно заимствовать из самого материала твердого скелета.

Приведенные факты показывают, что многие жидкости (нефть, пластовая вода), не проявляющие аномальных свойств вне контакта с пористой средой, при малых скоростях фильтрации могут образовывать неньютоновские системы, взаимодействуя с пористой породой. Наличие начального градиента давления у, при достижении которого начинается фильтрация, было обнаружено и при движении флюидов в газоводонасыщенных пористых средах. При этом было установлено, что изменяется в широких пределах и в большинстве случаев тем выше, чем больше глинистого материала содержится в пористой среде и чем выше остаточная водонасыщенность газоводяной смеси.

Наряду с этим неньютоновские свойства пластовых нефтей с повышенным содержанием высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов, парафина и т. д.) могут проявляться в широком диапазоне изменения скоростей.

Таким образом, при малых скоростях течения природа нелинейности закона фильтрации иная, чем в области больших скоростей фильтрации (больших Re).

Она связана с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся флюидов, а также других физико-химических эффектов.

Для простейшего случая одномерного линейного потока можно представить в виде

Генераторные установки переменного тока

... перевод всех типов отечествен­ных автомобилей на комплектацию генераторными установками переменного тока. Мощность генераторных установок для массо­вых автомобилей увеличилась более ... треугольник или в двойную звезду. Это вызвано тем, что при возрастании мощ­ности генератора увеличивается ... ­менного тока, а также отсутствие коллектора дают возможность при равных габаритных размерах получить большую ...

(14)

где — предельный (начальный) градиент давления, по достижении которого начинается движение жидкости; при меньших значениях градиента движение отсутствует.

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

фильтрация симметрия закон линейный

1. Уравнения плоского движения. Вывод уравнений Лапласа для движения с осевой и центральной симметрией из схемы трубки тока переменного сечения

Уравнение Лапласа для несжимаемой жидкости в неизменяемой пористой среде записывается в виде

(1)

Для плоского движения Р = Р (х, у).

Следовательно, имеем

(2)

Уравнения движения, очевидно, запишутся как

(3)

а) Плоскорадиальное движение

Возьмем трубку тока переменного сечения (мысленно выделяя) в пористой среде (рис. 1).

Жидкость считается несжимаемой, поток установившимся (q = const).

Пусть W = W (S) есть площадь сечения, зависящая от координаты S. Расход жидкости через эту площадь запишется формулой

(4)

Так как q = const, то . Учитывая (4), можно записать

(5)

Площадь любого сечения вдоль линии тока S может быть определена как

(6)

Подставив (6) в (5), заменяя dS на dr, получим

(7)

Развернем уравнение (7).

Получим

(8)

Получили уравнение Лапласа для установившегося плоскорадиального потока несжимаемой жидкости

Проинтегрируем уравнение (7):,

Интегрируем еще раз:

(9)

Как видно, получили известную формулу потенциала точечного стока (источника) на плоскости. Постоянные С ₁ и С₂ определяются из граничных условий.

Возьмем производную от Ф в формуле (9).

Получим:

(10)

откуда

(11)

Если в цилиндрическом пласте имеет место приток к центральной скважине, тогда и Q(а) = Q. Таким образом, уравнение (9) записывается в виде

(12)

Постоянная С ₂ легко определяется из граничного условия, что Ф = Ф_k при r = R_k и Ф = Ф_c при r = r_c . С учетом этого получаем известную формулу Дюпюи.

б) Радиально-сферическое движение (движение с центральной симметрией)

Выделим мысленно элемент сферы (рис. 2) в виде конуса с сферической поверхностью

(13)

С учетом (13) уравнение (5) запишется в виде

(14)

Развернём (14).

Получим

(15)

Получили уравнение Лапласа для радиально-сферического движения несжимаемой жидкости.

Проинтегрируем (14).

Получим

(16)

Интегрируем еще раз:

(17)

Получили формулу для потенциала точечного стока (источника) в пространстве.

Возьмем производную потенциала по r, формулу (17), которая дает нам значение скорости фильтрации:

С другой стороны,

(18)

При = 4 (сфера) получим

Следовательно, формула (17) для стока с дебитом Q принимает вид:

(19)

Значение постоянной С ₂ находится из граничных условий:

Ф = Фк при r = R _k и Ф = Ф_c при r = r_c , после чего из (19) получаем уже известную нам формулу для дебита.

2. Связь теории функции комплексного переменного с плоской задачей фильтрации. Функция тока. Комплексный потенциал

Для плоского движения несжимаемой жидкости потенциал является функцией двух координат, т. е. Ф = Ф (х,у).

Уравнения движения записываются в виде

(20)

Уравнение неразрывности

(21)

Уравнение Лапласа

(22)

Найдем уравнение линий тока. Линией тока называется такая линия, касательная к которой в любой точке совпадает с вектором скорости. Отсюда следует выражение для направляющих косинусов (рис. 3):

откуда следует уравнение линий тока

(23)

Здесь dS—элемент линии тока с проекциями dx и dy, () — модуль вектора скорости с проекциями U и V.

Решение уравнения (23) будем искать в виде неявной зависимости

(24)

Уравнение (24) называется функцией тока. Основное свойство функции тока— это ее постоянство вдоль линии тока. Но с переходом от одной линии тока к другой значение функции тока (х, у) меняется (рис. 4).

Установим связь функции тока с потенциалом скорости фильтрации

Ф (х,у) = С. Поскольку Ф (х,у) =const вдоль линии тока, то полный дифференциал ее равен нулю, т. е.

Это то же уравнение линий тока, что и (23), но только в неявной форме. Сравниваем (25) и (23).

Получаем

(26)

Сравнивая (20) и (26), находим

(27)

Получили уравнения Коши — Римана, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Докажем. Дифференцируя уравнение (27), получим:

(28)

Уравнения Коши — Римана имеют замечательную связь с теорией функции комплексного переменного.

Пусть плоскость течения принята за плоскость комплексного переменного z = х + iy. По аналогии с этим комплексным переменным составим новую комплексную функцию

F (z) = Ф(х,у) + i(х,у) (29)

Но не всякая комплексная функция, составленная подобным образом, будет функцией комплексного переменного. Наша новая комплексная функция (29) является не просто комплексом, но и функцией комплексного переменного. Чтобы доказать это, обратимся к уравнениям Коши—Римана.

Рассуждаем так: если комплекс(29) является функцией комплексного переменного z = х + iy, то производная dF/dZ должна иметь одно и то же значение независимо от закона стремления Z 0. Продифференцируем уравнение (29) два раза, по а; и по у, комплексную переменную Z = х + iy продифференцируем как сложную функцию:

(30)

(31)

Учитывая (31), из уравнений (30) имеем

(32)

Сравнивая действительные и мнимые части в уравнении (32), находим

Как видим, получили уравнения Коши—Римана (27).

Таким образом, уравнения Коши — Римана являются необходимым и достаточным условием, чтобы считать комплексную функцию (29) функцией комплексного переменного Z = х + iy. Формально получается, что новая комплексная функция зависит не от двух переменных (х,у), а от одного комплексного переменного Z. Итак, если нам известна функция комплексного переменного, то, отделив в ней действительную часть от мнимой, можно трактовать, что действительная часть Ф (х,у) представляет потенциал некоторого плоского фильтрационного потока. Приравнивая ее к постоянной, получим семейство эквипотенциалей Ф (х,у) = Const] мнимая часть представляет функцию тока, а ф (х,у) = Const представляет семейство линий тока (рис. 4).

Функция комплексного переменного (29) называется характеристической функцией течения или комплексным потенциалом, который дает нам сразу всю картину движения: семейство эквипотенциалей, семейство линий тока и поле скоростей.

Теперь докажем, что линии тока и эквипотенциали взаимно ортогональны. Так как Ф (х,у) = Const и ф (х,у) = Const, то полные дифференциалы их равны нулю, т.е.

(33)

Угловые коэффициенты касательных к эквипотенциалям и линиям тока с учетом (23) запишутся соответственно (рис. 4):

(34)

С учетом уравнений Кош и — Римана (27) произведение угловых коэффициентов дает нам K ₁ K₂ =1, т. е. касательные пересекаются под прямым углом.

3. Приток к точечным стокам на плоскости.

Случай разно-дебитных стока и источника.

Приток к скважине эксцентрично расположенной в круговом пласте

Поместим сток в начале координат и рассмотрим приток к нему (рис. 18).

Потенциал точечного стока на плоскости, как известно, описывается формулой

(35)

В этом случае, очевидно, лучи, выходящие из начала координат, будут являться линиями тока. Концентрические окружности будут представлять собой эквипотенциалы, т. е. линии равных потенциалов, где при r = Const имеет место Ф (х,у) = Const. Функция тока вдоль каждой из линий также является величиной постоянной и для данного случая представляет собой уравнение прямой

(36)

где А и В некоторые постоянные коэффициенты, а — угол между линией тока и осью х.

Составим комплекс:

(37)

Подставим (35) и (36) в уравнение (37), полагая А =:

Запишем комплексную переменную Z = x + iy в полярных координатах, учитывая, что

По теореме Эйлера имеем

(39)

Тогда получим

(40)

С учетом (40) комплексный потенциал точечного стока на плоскости запишется в виде

(41)

Рассмотрим работу двух равнодебитных скважин: стока и источника, т. е. работу эксплуатационной и нагнетательной скважин, и изучим поле эквипотенциалей и линий тока (рис. 6).

Заметим, если сток или источник располагаются не в начале координат, а в какой-либо точке, у которой комплексная координата Zo = X ₀ + iy₀ , то комплексный потенциал записывается по аналогии с (41), где вместо Z необходимо принять разность (Z— Zo), т. е.

(42)

Разместим для простоты скважину-сток и скважину-источник на оси х. Источник имеет координаты: х =-а; у = 0; и (-q) — расход; сток имеет координаты: х = а; у = 0; расход (+q).

Потенциалы и функция тока в точке М запишутся соответственно для стока и источника:

Комплексный потенциал в соответствии с (42) с учетом комплексной координаты, для нашего случая Z, = х ₀ + iy₀ = ± a (у₀ = 0), запишется для стока и источника соответственно:

По принципу суперпозиции комплексный потенциал результирующего течения запишется в виде:

(45)

Отделяя вещественную часть от мнимой в комплексе (45) или подставляя (43) в (37) и производя то же самое разделение, получим:

(46)

Докажем, что линиями тока при взаимодействии двух равнодебитных скважин (стока и источника) будут окружности. Известно, что функция тока (х, у) вдоль линии тока величина постоянная. Это значит, как следует из (45), = const, т. е., другими словами, угол зрения с любой точки линии тока на отрезок (-а, +а) будет величиной одной и той же. Таким свойством обладает геометрическое место точек, называемое окружностью.

Эквипотенциали для рассматриваемого случая также являются окружностями. Согласно (46) Ф = const при r ₁ /r₂ = const. Последнее возможно лишь для геометрического места точек, называемого окружностями. В декартовых координатах имеем

(47)

Пусть скважина расположена в круговом пласте эксцентрично. Введем обозначения: R _к — радиус контура питания, Ф_к и Ф_с — потенциалы на контуре и на скважине, — эксцентриситет (рис. 6).

Поместим точку М в точку пересечения контура питания и оси х (М’).

Тогда будем иметь:

r ₁ = R_к -; r₂ = 2 — (R_k — ).

Затем помещаем точку М на контур скважины. Тогда r₁ = г_c ; r₂ 2a. Результирующий потенциал запишется в виде:

(48)

(49)

Чтобы исключить «а», воспользуемся условием, что потенциал на контуре Фк = const, т. е. Фм’ = Фм» = const. Последнее возможно, если выполняется условие

(14)

откуда следует

(51)

Подставляя (51) в (49), находим

(52)

При = 0 из (52) следует формула Дюпюи. При (обычно всегда выполняется на практике) и при /R _k 0.8 коэффициент . Это означает, что в указанных пределах можно пользоваться формулой Дюпюи.