Строительная механика

метки: Строительный, Курсовой, Работа, Механик, Колебание, Вагон, Пружина, Симметричный

изучение метода расчета динамической системы;

• исследование колебаний вагона на рессорах.

Решаемые задачи:

определение характеристик расчетных моделей подсистем;

• изучение свободных и вынужденных колебаний;
• определение параметров гасителей рессорного подвешивания вагона.

Объектом исследования является модель крытого вагона 11-066 с одинарным рессорным подвешиванием.

Таблица 2.1

Характеристика задания

№ вар	Тип вагона и его модель	Степень загрузки	Число пружин в рессорном комплекте	Неровность (П,К)
		по массе	по объему		амплитуда , мм	длина волны , м
1	11-066	1	1	7	8	12,5

Таблица 2.2

Параметры модели кузова и груза

Название элемента	Обозначение параметра	Значение
Внутренние размеры кузова, мм: — длина; — ширина; — высота по боковой стене	L B H	13844 2760 2791
База модели, мм	2l	10000
Размеры элементов кузова, мм: — толщина торцевой стены; — толщина боковой стены; — высота рамы.	aT aБ hp	20 20 360
Поперечное расстояние между осями рессорного подвешивания, мм:	2b	2036
Массы вагона (тары), кг;	MВ	22000
Масса груза, кг;	MГ	68000
Масса тележки, кг;	MТ	4800
Масса надрессорной балки, кг;	MНБ	600

3.1 Допущения по расчетной модели

При выборе динамической расчетной модели принимаем следующие допущения:

• динамическую систему представляем в виде системы твердых тел;
• полагаем, что в рессорном подвешивании отсутствуют диссипативные силы сухого и вязкого трения, система вследствие этого будет являться консервативной;
• грузы рассматриваем как твердые тела с жестким присоединением к кузову вагона;
• рессорные комплекты тележек имеют линейную силовую характеристику;
• путь считаем абсолютно жестким.

3.2 Источник возмущений

[Электронный ресурс]//URL: https://drprom.ru/kursovoy/po-stroitelnoy-mehanike/

В качестве источника возмущения принимаем гармоническую неровность первого вида:

,(3.1)

где — частота изменения гармонической неровности:

,(3.2)

• скорость движения вагона.

3.3 Метод расчета и уравнения колебаний системы

Физическая модель метода расчета

Для расчета системы используем метод реактивных усилий. Колебания кузова в пространстве определяем по движению центра масс кузова : тремя линейными и тремя угловыми его перемещениями по направлению координатных осей кузова (рисунок 4.1).

Движение всех других частей кузова находим по колебаниям центра масс кузова и координатам этих частей, .

Узел , движение которого будем изучать, условимся называть центрально-координатным узлом.

Центрально-координатный узел полагаем имеет внутренние линейные и угловые связи по направлению координатных осей . Считаем, что все усилия, действующие на рассматриваемое тело, через внутренние элементы-вставки передаются в связи центрально-координатного узла и здесь взаимно уравновешиваются на основании принципа Лангранжа-Деламбера.

Усилия, которые подходят к узлу, являются активными. Они вызывают в связях реакции: — сил инерции, — сил упругости, — сил вязкого трения, — возмущающие силы и другие, равные по величине активным силам и противоположно по направленные, где — номер реакции и номер перемещения.

По видам перемещений кузова колебаниям присвоены названия:

• колебание подергивания (линейное по оси );
• колебание подпрыгивания (линейное по оси );
• колебание бокового относа (линейное по оси );
• колебание бокового поворота (угловое вокруг оси );
• колебание виляния (угловое вокруг оси );
• колебание галопирования (угловые вокруг оси ).

Уравнения колебаний вагона

Уравнения колебаний вагона в общем случае запишутся из уравнений равновесия реакций в центрально-координатных связях кузова:

(3.3)

Для сил инерции и сил упругости с линейными характеристиками значения реакций будем записывать через коэффициенты от единичных воздействий:

(3.4)

где — коэффициенты реакций сил инерции и упругости от единичных возмущений: .

Уравнения колебаний (3.3) в этом случае можно представить в развернутой записи как систему уравнений вида:

(3.5)

3.4 Структура физико-математической модели динамической систе мы и ее топологическая модель

По видам нагрузок и подконструкций расчетную модель вагона представим в виде отдельных подсистем — блок-моделей.

В общем случае основными подсистемами расчетной модели являются:

1. Топологическая модель;

2. Инерционная модель;

3. Виброзащитная модель;

4. Диссипативная модель вязкого трения;

5. Диссипативная модель сухого трения;

6. Модель возмущающих нагрузок;

7. Гравитационная модель сил тяжести.

Частную топологическую модель представляем в виде невесомых подконструкций, с соответствующими размерами и связями между ними, массами, силовыми устройствами, центрально-координатными узлами.

Топологическая модель подразделяется на отдельные подсистемы, работающие с заданным видом нагрузок блок-моделей.

Топологическими характеристиками динамической системы являются:

• общие размеры динамической системы;
• геометрические размеры отдельных элементов, узлов, частей, единиц подвижного состава;
• положение центров масс и координатных осей подконструкций.

В качестве частей конструкции в физических моделях выступают: кузов вагона, рамы тележек, колесные пары, рессорные комплекты, подрессоренные грузы и т.п.

В расчетных моделях узлы подконструкций в зависимости от вида их нагрузок будем в дальнейшем называть инерционными, виброзащитными, диссипативными и так далее.

4.1 Характеристика инерционно-топологической подсисте мы

Для определения характеристик инерции разбиваем кузов на узлы инерции: раму, торцевые и боковые стены, крышу, надрессорные балки, груз и указываем размеры частей на схеме (рис 4.1)

Считаем в инерционных элементах (частях кузова) массы распределенными равномерно по их объемам.

Заменяем распределенные массы элементов на сосредоточенные и располагаем их в центрах масс элементов.

Для определения координат центров масс элементов и кузова принимаем начальную систему координат . Ось направим по оси автосцепки, другие — — по осям симметрии кузова (рисунок 4.1).

Координаты центров тяжести элементов в системе координат заносим в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Характеристики узлов

	M, кг	l, мм	b, мм	h, мм	x, мм	y, мм	z, мм
Рама	7000	13870	3200	360	0	-1367	0
Тор. стена	350	20	2760	2791	6925	118,6	0
Бок. стена	1559	13870	20	2791	0	118,6	1590
Крыша	1603	13870	3200	587	0	1777	0
Груз	68000	13844	2760	2791	0	118,6	0
Над. Бал.	600	325	2590	325	5000	-1799	0
Сумма(М)	78512

Положение центра масс кузова и его главных координатных осей

Положение центра масс кузова определяется координатами .

Из условия равенства суммы моментов инерции элементов по оси и общего для кузова от возмущений , выражения координат равны:

,(4.1)

где — массы кузова, участвующие в колебаниях по направлению осей :

;

• координаты центров масс элементов и груза в начальной системе координат .

1

1

Рисунок 4.1- Топологическая модель кузова вагона

В центре масс кузова помещаем центрально-координатную систему . Поскольку оси системы совпадают с осями симметрии кузова, то они будут являться главными осями тела инерции.

Находим расстояние от центра масс вагона до уровня верха пружин рессорных комплектов:

мм(4.2)

где — расстояние от оси автосцепки до верха пружин, м.

4.2 Характеристики инерции

Характеристики инерции определяются ускорениями колебаний центра масс кузова по направлению координатных осей кузова.

Для определения характеристик инерции, в центрах масс элементов устанавливаем местные координатные оси . При определении коэффициентов инерции задаем последовательно центру масс тела перемещения с ускорением , находим в центрах масс элементов силы инерции и моменты сил инерции и от них реакции сил инерции в центре масс тела (рис. 4.2).

Реакции образуют матрицу коэффициентов инерции . Поскольку оси кузова являются главными и центральными, то побочные реакции равны нулю ().

Тогда в качестве характеристик инерции будут выступать главные коэффициенты инерции тела .

Поскольку оси параллельны осям координат тела , то от коэффициенты масс и моментов инерции масс кузова будут равны:

,(4.3)

где — коэффициенты инерции масс от линейных ускорений (), кг;

• коэффициенты инерции масс от угловых ускорений (), кгм ² ;

• моменты инерции масс элементов относительно местных координатных осей , кгм ² ;

• координаты центров тяжести элементов в системе координат .

Таблица 4.2

Моменты инерции масс,

Название элемента	Ix	Iy	Iz
Рама	1,91E+10	1,182E+11	1,313E+11
Торцовая стена	4,54E+08	1,701E+10	1,701E+10
Боковая стена	4,98E+09	2,893E+10	2,501E+10
Крыша	6,47E+09	2,707E+10	3,213E+10
Груз	8,83E+10	1,129E+12	1,13E+12
Надрессорная балка	2,28E+09	1,534E+10	1,728E+10
	Ix общ	Iy общ	Iz общ
	1,293E+11	1,4E+12	1,41E+12

4.3 Математическая инерционная модель

Математической инерционной моделью кузова с произвольными координатными осями и центрально главными осями являются выражения (4.4, 4.5):

(4.4)

(4.5)

5.1 Характеристики рессорного подвешивания двухосной тележки гру зового вагона

Таблица 5.1

Параметры пружин рессорного комплекта

№ п/п	Параметр	Наружная пружина,	Внутренняя пружина,
1	Средний диаметр, мм Диаметр сечения пружины, мм
2	Число рабочих витков
3	Высота пружины в свободном состоянии, мм

Вертикальная жесткость блока двухрядной пружины

Жесткость двухрядной пружины равна сумме жесткостей наружной и внутренней однорядных пружин :

,(5.1)

где — номер однорядной пружины в блоке многорядной пружины .

Жесткости наружной и внутренней пружин определяем по формуле:

,(5.2)

где — диаметр прутка;

• средний диаметр пружины;
• модуль упругости второго рода (Н/м ² ).

Жесткости наружной и внутренней пружин соответственно:

;.

Жесткость одной двухрядной пружины равна:

Так как рессорный комплект состоит из 7 двухрядных пружин, то вертикальная жесткость рессорного комплекта составляет:

,(5.3)

Поперечная жесткость однорядных пружин

Поперечная жесткость пружин определяется по формуле:

,(5.4)

где — боковая нагрузка на пружину;

• поперечное смещение верхнего узла пружины при защемленных концах пружины:

,(5.5)

где — коэффициенты:

(5.6)

, — полярный и осевой моменты инерции сечения прутка однорядной пружины:

(5.7)

• диаметр прутка однорядной пружины;
• модули упругости первого и второго рода, ( Н/м ² ).

• свободная высота пружины;
• деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой:

,(5.8)

• массы тары, тележки, надрессорной балки, груза;
• ускорение свободного падения, 9,8 м/с ² ;

• вертикальная нагрузка на один рессорный комплект, .

Деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой равна:

Таблица 5.2

Значения коэффициентов и моментов инерции для пружин

	k 1 , 1/Нм2	k 2 , 1/Н	, м 4	, м 4
Наружная пружина	9,4410 -5	3,6410 -6	7,9510 -8	3,9710 -8
Внутренняя пружина	58,610 -5	8,610 -6	1,2810 -8	0,6410 -8

Поперечная жесткость наружной и внутренней пружин соответственно:

Поперечная жесткость двухрядной пружины и рессорного комплекта

Двухрядная пружина имеет жесткость:

(5.9)

Жесткость рессорного комплекта равна:

(5.10)

5.2 Нагруженность системы силами упругости и реакциями сил упру гости

Последовательно задаем центру масс кузова перемещения , строим схемы перемещений, находим перемещения упругих связей и по ним — деформации и усилия по направлению координатных осей рессорного комплекта .

Для грузового вагона, находящегося на жестком пути, возможными перемещениями являются:

q ₁ — перемещения от колебания подергивания;

q ₂ — от колебания подпрыгивания;

q ₃ — бокового относа:

q ₄ — бокового поворота;

q ₅ — колебания виляния;

q ₆ — колебания галопирования.

Рисунок 5.1 Расчетная схема вагона

Рисунок 5.2 — Схема нагруженности от q ₁

Деформации: d_u =U₂ -U₁ =q₁ -0=1; d_v =V₂ -V₁ =0; d_w =W₂ -W₁ =0.

Силы упругости: P_u =C_u d_u =42,9510⁵ 1=42,9510⁵ (Н).

Реакции:

X=0; r₁₁ =4P_u =4C_u d_u =442,9510⁵ =171,810⁵ (Н);Y=0; r₂₁ =0;

Z=0; r ₃₁ =0;M_x =0; r₄₁ =0;

M_y =0; r₅₁ -P_u ¹ b₁ +P_u ² b₂ -P_u ³ b₃ +P_u ⁴ b₄ =0; r₅₁ =0 (вагон симметричный);

M_z =0; r₆₁ -4P_u ^(s) h_c ^* =0; r₆₁₌ 4P_u ^(s) h_c ^* =442,9510⁵ 2,169=351,110⁵ (Нм).

Рисунок 5.3 — Схема нагруженности от q ₂

Деформации: d _v =V₂ -V₁ =q₂ -0=1.

Силы упругости: P _v =C_v d_v =410⁶ 1=410⁶ (Н).

Реакции:

• X=0;
• r ₁₂ =0;

• Y=0;
• r ₂₂ =4P_v =4C_v d_v =4410⁶ 1=1610⁶ (Н);

• Z=0;
• r ₃₂ =0;

M _x =0; r₄₂ =0;

M _y =0; r₅₂ =0;

M _z =0; r₆₂ +P_v ¹ l₁ +P_v ² l₂ -P_v ³ l₃ -P_v ⁴ l₄ =0; r₆₂ =0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.4 — Схема нагруженности от q ₃

Деформации: d_u =U₂ -U₁ =0; d_v =V₂ -V₁ =0; d_w =W₂ -W₁ =q₃ -0=1.

Силы упругости: P_w =C_w d_w =42,9510⁵ 1=42,9510⁵ (Н).

Реакции:

X=0; r ₁₃ =0;Y=0; r₂₃ =0;

Z=0; r₃₃ =4P_w =4C_w d_w =442,9510⁵ 1=171,810⁵ (Н);

M_x =0; r₄₃ -P_w ¹ h_c ^* -P_w ² h_c ^* -P_w ³ h_c ^* -P_w ⁴ h_c ^* =0;

r₄₃ =4P_w h_c ^* =442,9510⁵ 2,169=351,110⁵ (Нм)

M _y =0; r₅₃ =0 (вагон симметричный);

M _z =0; r₆₃ =0.

Рисунок 5.5 — Схема нагруженности от q ₄

Деформации: d_v ¹ =V₂ -V₁ =-bq₄ -0=1,018(м); d_v ² =V₂ -V₁ =bq₄ -0=1,018(м)

d _w =W₂ -W₁ =-h_c q₄ -0=2,0441=2,044(м);

Силы упругости: P_v =C_v d_v =410⁶ 1,018=4,07210⁶ (Н);

P_w =C_w d_w =-C_w h_c =42,9510⁵ 2,044=87,77710⁵ (Н).

Реакции:

X=0; r₁₄ =0; Y=0; r₂₄ +P_v ¹ -P_v ² +P_v ³ -P_v ⁴ =0; r₂₄ =0 (вагон симметричный);

Z=0; r₃₄ +P_w ¹ +P_w ² +P_w ³ +P_w ⁴ =0; r₃₄ = -4 P_w =487,77710⁵ =351,110⁵ (Н);

M_x =0; r₄₄ -P_v ¹ b₁ -P_v ² b₂ -P_v ³ b₃ -P_v ⁴ b₄ -P_w ¹ h_c ^* -P_w ² h_c ^* -P_w ³ h_c ^* -P_w ⁴ h_c ^* =0; r₄₄ =4P_v b+4P_w h_c ^* =44,07210⁶ 1,018+487,77710⁵ 2,169=927,310⁵ (Нм);

M_y =0; r₅₄ — P_w ¹ l₁ -P_w ² l₂ -P_w ³ l₃ -P_w ⁴ l₄ =0; r₅₄ =0 (вагон симметричный);

M_z =0; r₆₄ -P_v ¹ l₁ +P_v ² l₂ +P_v ³ l₃ -P_v ⁴ l₄ =0; r₆₄ =0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.6 — Схема нагруженности от q ₅

Деформации: d_u ¹ =U₂ -U₁ =b₁ q₅ -0=1,018(м); d_u ² =U₂ -U₁ =-b₁ q₅ -0=1,018(м);

d_v =V₂ -V₁ =0; d_w ¹ =W₂ -W₁ =-l₁ q₅ -0=5(м); d_w ³ =l₃ q₅ -0=5(м).

Силы упругости: P_u =C_u d_u =42,9510⁵ 1,018=43,72310⁵ (Н);

P_w ¹ =C_w d_w ¹ =-C_w l₁ =42,9510⁵ 5=214,7510⁵ (Н).

Реакции:

X=0; r ₁₅ =0;Y=0; r₂₅ =0;

Z=0; r₃₅ +P_w ¹ +P_w ² -P_w ³ -P_w ⁴ =0; r₃₅ =0 (вагон симметричный);

M_x =0; r₄₅ -P_w ¹ h_c ^* -P_w ² h_c ^* +P_w ³ h_c ^* +P_w ⁴ h_c ^* =0; r₄₅ =0 (вагон симметричный);

M_y =0; r₅₅ -P_u ¹ b₁ -P_u ² b₂ -P_u ³ b₃ -P_u ⁴ b₄ -P_w ¹ l₁ -P_w ² l₂ -P_w ³ l₃ -P_w ⁴ l₄ =0;

r₅₅ =4P_u b+4P_w l=443,72310⁵ 1,018+4214,7510⁵ 5=447,310⁶ (Нм);

M_z =0; r₆₅ +P_u ¹ h_c ^* -P_u ² h_c ^* + P_v ³ h_c ^* -P_u ⁴ h_c ^* =0; r₆₅ =0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.7 — Схема нагруженности от q ₆

Деформации: d_u =U₂ -U₁ =h_c q₆ -0=2,044(м); d_v ¹ =d_v ² =V₂ -V₁ =l₁ q₆ -0=5(м);

d_v ³ =d_v ⁴ =V₂ -V₁ =l₃ q₆ -0=5(м).

Силы упругости: P_u =C_u d_u =42,9510⁵ 2,044=87,77710⁵ (Н);

P _v =C_v d_v =410⁶ 5=210⁷ (Н).

Реакции:

X=0; r₁₆ =4C_u h_c =442,9510⁵ 2,044=351,110⁵ (Н);

Y=0; r₂₆ -P_v ¹ -P_v ² +P_v ³ +P_v ⁴ =0; r₂₆ =0 (вагон симметричный);

Z=0; r ₃₆ =0;

M_x =0; r₄₆ +P_v ¹ b₁ -P_v ² b₂ -P_v ³ b₃ +P_v ⁴ b₄ = 0; r₄₆ =0 (вагон симметричный)

M_y =0; r₅₆ -P_u ¹ b₁ +P_u ² b₂ -P_u ³ b₃ +P_u ⁴ b₄ =0; r₅₆ =0 (вагон симметричный);

M_z =0; r₆₆ -P_u ¹ h_c ^* -P_u ² h_c ^* -P_u ³ h_c ^* -P_u ⁴ h_c ^* -P_v ¹ l₁ -P_v ² l₂ -P_v ³ l₃ -P_v ⁴ l₄ =0;

r ₆₆ =487,77710⁵ 2,169+4210⁷ 5=476,110⁶ (Нм).

5.3 Математическая модель виброзащитной системы вагона

На кузов вагона действует система реакций сил упругости, обусловленная колебаниями . Реакции в связях по направлению координатных осей от .суммируются, образуя в узле вектор реактивных усилий:

(5.12)

где — матрица коэффициентов жесткости несимметричного вагона:

,(5.13)

• вектор перемещений центра масс кузова вагона.

6.1 Физическая модель нагруженности вагона

Рисунок 6.1 — Схема для расчета перемещения колесных пар

Нагруженность характеризуется силами упругости в рессорном подвешивании

,(6.1)

где — углы сдвига фаз в перемещениях колесных пар:

,(6.2)

• амплитуда и длина волны вертикальной неровности пути;
• частота вынужденных кинематических возмущений,

(6.3)

При средней скорости движения вагона получим:

Перемещения буксовых узлов равны перемещениям точек контакта колес с рельсами (рисунок 6.1):

(6.4)

Из схем перемещений боковых рам находим перемещения нижних опорных поверхностей рессорных комплектов:

(6.5)

Деформации и силы упругости в виброзащитных связях при значениях перемещений (6.5) составляют:

(6.6)

(6.7)

Рисунок 6.2 — Расчетная схема для определения возмущающей нагрузки

6.2 Математическая модель внешних возмущающих нагру зок

Изначально силы упругости (6.7) в рессорном подвешивании на схемах (рисунок 6.2) положительны.

Силы упругости (6.7) вызывают в связях центрально-координатного узла кузова реакции возмущающих нагрузок (рисунок 6.2).

Из равновесия кузова вектор кинематических возмущающих нагрузок равен:

,(6.8)

где .

При значениях сил (6.7) и (6.4) реакции (6.8) принимают значения:

(6.9)

(6.10)

(6.11)

В несимметричном вагоне возмущающие усилия вызывают колебания . Поскольку колебания через реакции связаны с , а последние через реакции с (5.12 ), то возникают все колебания кузова . Кузов испытывает сложные вынужденные колебания.

В симметричном вагоне при линейные реакции (6.9) не меняются, а угловые — (6.10), (6.11) становятся равными:

(6.12)

Возмущающие реакции вызовут в системе колебания и . Колебание возникает вследствие взаимосвязи через реакции . Если реакции малы , то будем иметь только два вида колебаний — и .

В реакциях возмущения от колесных пар сдвинуты по фазе (), что создает некоторые затруднения в решении задачи. Для упрощения решения сложим составляющие гармонических возмущений в этих реакциях. Сложение выполним графическим способом, используя интерпретацию вращающихся векторов и их проекций на горизонтальную ось .

Рисунок 6.3 — Векторная диаграмма

Для сложения функций в реакции (6.9), проведем радиусом, равным амплитуде кинематического возмущения , окружность и в соответствии с углами сдвига фаз , отложим последовательно амплитуды возмущений по колесным парам (рисунок 6.3).

Сложим векторы амплитуд , и , в тележках и получаем значения .

Выполнив сложение векторов по тележкам, находим эквивалентную амплитуду вектора возмущений для вагона — , которая соответствует колебанию .

Из векторной диаграммы определяем: .

Проекция вектора на горизонтальную ось дает функцию суммарного возмущения на вагон:

(6.13)

Эта функция заменяет выражение, стоящее в фигурных скобках (6.9).

Значение суммарной возмущающей реакции на вагон теперь равно:

(6.14)

где — амплитуда возмущающей силы по колебанию подпрыгивания, .

Аналогично изложенному производим сложение возмущающих функций в реакции . Знак минус во второй квадратной скобке учитывается изменением направления вектора на обратный.

Суммарное значение возмущающей функции по колебанию галопирования равно:

,(6.15)

где — амплитуда возмущающей силы по колебанию галопирования.

Выводы:

1. Наибольшие значения сил вертикальных возмущений получим, если векторы амплитуд возмущений по тележкам будут совпадать. Это произойдет в случае равенства базы вагона длине волны неровности. При этом реакция возмущений по шестому колебанию становится бесконечно малой, .

2. Наибольшего значения реакция достигает, когда совпадают векторы амплитуд колебаний . Это происходит в случае, когда база вагона равна половине длины неровности пути . Однако в этом случае реакция возмущений по колебанию подпрыгивания обращается в ноль, .

6.3 Математическая модель динамики вагона на рессорах

Математической моделью является система дифференциальных уравнений, описывающая колебания вагона в функции времени.

Уравнения колебаний получаем из уравнения динамического равновесия реакций в центрально-координатном узле кузова, суммируя реакции по блок-моделям силовых подсистем: инерционной, виброзащитной, внешних возмущений. Для несимметричного вагона, с центрально-главными осями система уравнений колебаний равна:

(6.16)

Уравнения колебаний системы в матричном представлении:

• в развернутой форме:

(6.17)

• в сокращенной форме записи:

(6.18)

Для симметричного вагона, из-за отсутствия многих побочных реакций, получаем независимые уравнения колебаний:

(6.19)

и взаимосвязанные уравнения боковых колебаний:

(6.20)

Уравнения колебаний (6.16 — 6.20) описывают совместные свободные и вынужденные колебания вагона. Рассмотрим динамику свободных и вынужденных колебаний.

7.1 Уравнения свободных колебаний вагона

Свободные колебания наблюдаются при прекращении действия возмущающих сил или при изменении силовых характеристик динамической системы.

Уравнения свободных колебаний кузова вагона, в системе главных, центрально-координатных осей:

• для несимметричного вагона по реакциям сил упругости:

в развернутой форме:

,(7.1)

в развернуто-матричной форме:

,(7.2)

• для симметричного вагона по реакциям сил инерции и упругости:

(7.3)

(7.4)

7.2 Определение частот свободных колебаний

Решениями однородных уравнений (7.1 — 7.4) являются тригонометрические функции:

(7.5)

Или в общем виде:

(7.6)

Вторые производные являются ускорениями колебаний тела:

,(7.7)

где — амплитуда свободных колебаний;

• частота свободных колебаний.

Подставляя и в уравнения свободных колебаний (7.1 — 7.4), получаем уравнения колебаний в алгебраической форме:

,(7.8)

,(7.9)

(7.10)

В полученных уравнениях амплитуды колебаний не равны нулю, поскольку система колеблется. Чтобы тождества удовлетворялись, необходимо равенство нулю определителей составленных из коэффициентов при неизвестных амплитудах, то есть:

• для несимметричного вагона

,(7.11)

• для симметричного вагона

(7.12)

(7.13)

Полученные уравнения (7.11 — 7.13) являются уравнениями частот. Из решения уравнения (7.12), находим частоты свободных колебаний, 1/с:

(7.14)

Раскрывая определитель (7.13), получаем выражение вида

(7.15)

После преобразования (7.15) приходим к характеристическому уравнению:

,(7.16)

где — частотный параметр, .

Из уравнения (7.16) корни равны:

7.3 Формы колебаний вагона

Частными решениями для симметричного вагона являются функции:

• для независимых колебаний:

(7.19)

• для взаимосвязанных боковых колебаний:

(7.20)

Частным решениям (7.19) отвечают формы колебаний подергивания, подпрыгивания, виляния, галопирования. Решениям уравнений (7.20) соответствуют колебания боковой качки I и II рода.

8.1 Резонансные колебания кузова вагона

При движении по гармонической неровности пути реактивные усилия в симметричном вагоне вызывают колебания подпрыгивания и галопирования, которые описываются уравнениями (6.19):

(8.1)

(8.2)

Уравнения (8.1) и (8.2) однотипны. Проследим решение одного из уравнений, например, колебания подпрыгивания. Другое будет решаться аналогично первому.

Общее решение уравнения (8.1) складывается из частного решения однородного уравнения (без первой части) и частного решения неоднородного уравнения (с правой частью):

(8.3)

Частное решение отвечает свободным колебаниям системы (рис.8.1,б), а частное решение — вынужденным (рис. 8.1,а).

Произвольные постоянные являются амплитудами свободных и вынужденных колебаний. , Если подставим частные производные , соответственно в однородное и неоднородные уравнения, то найдем

(8.4)

Общее решение (8.3) представится теперь в виде:

(8.5)

Возможны следующие случаи колебаний системы:

• нерезонансный, когда ;
• резонансный, когда ;
• случай близкий к резонансному, .

Резонансным случаем (режимом) колебаний считают тот, когда различия между частотами составляет не более 15%.

Колебания в нерезонансной области

При отклонении вагона от положения статического равновесия на величину , вагон совершает гармонические колебания, определяемые первым членом уравнения (8.5).

При воздействии на вагон только возмущающих нагрузок вагон совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой . Закон колебаний определяется вторым членом уравнения (8.5).

В случае воздействия на вагон одновременно начальных возмущений и возмущающих нагрузок движения вагона определяются общим уравнением (8.5).

Из-за наличия в системе сил трения, свободные колебания с течением времени затухают и движение системы определяется вторым членом уравнения (8.5).

Колебания вагона в резонансном и близким к резонансу режимах

Считаем, что частоты возмущений близки к частоте свободных колебаний:

(8.6)

где — бесконечно малая величина.

Динамика вагона определяется законом движения (8.5) с учетом значений параметров (8.4).

Произвольные постоянные в решении (8.5) найдем из начальных условий движений системы. Полагаем, в начальный момент движения перемещение и скорость были равны нулю, то есть:

(8.7)

Из решения системы (8.7) находим:

(8.8)

Общее решение (8.5) с учетом (8.8) и последующим ее преобразованием через тригонометрические функции половинных углов принимает вид:

(8.9)

Периоды тригонометрических функций равны:

(8.10)

Рисунок 8.1 — График колебаний биения

Период , поскольку — бесконечно малая величина. Закон колебаний системы по условию (8.9) показан на рисунке 8.1. Колебания заданного вида называют колебаниями биения.

При более близком совпадении частот, в выражении (8.9) можно принять . Тогда закон колебаний подпрыгивания при учете значения (8.8) будет выражен функцией:

(8.11)

Колебания пропорциональны времени и нарастают с течением времени (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 — График колебаний

За время одного цикла колебаний происходит приращение амплитуд колебаний на величину:

,(8.12)

Аналогично изложенному можно решить уравнение колебаний галопирования (8.2) и найти параметры колебаний:

(8.13)

Выводы:

Колебания динамической системы без сил трения опасны тем, что в резонансном и околорезонансном режимах происходят значительные нарастания амплитуд колебаний. Возникает обезгрузка колесных пар и потеря их устойчивости против вкатывания на головку рельса. Возможны саморасцепы вагонов.

Уровень колебаний определяется величиной возмущающих нагрузок , а последние соотношениями:

• длины базы вагона и неровности пути;
• частот вынужденных и свободных колебаний ().

3. Для снижения колебаний необходимо ввести в рессорное подвешивание диссипативные силы: вязкого или сухого трения.

8.2 Определение параметров гасителей колебаний

Параметры гасителей сухого трения

Необходимые значения сил трения гасителей в первом приближении определим из условия энергетического принципа.

Работа сил трения гасителей за один период колебаний должна равняться приращению потенциальной энергии рессорного подвешивания вагона за тот же период:

(8.14)

где — число гасителей и рессор в вагоне.

• работа сил трения и приращение потенциальной энергии в рессорном комплекте при колебании по оси .

Работу сил сухого трения фрикционного гасителя найдем по площади гистерезисной петли силовой характеристики гасителя (рис.8.3, а):

,(8.15)

а приращение потенциальной энергии — по работе сил упругости (рис. 8.3,б):

,(8.16)

где — силы трения при сжатии и растяжении гасителя в среднем положении;

• амплитуда деформаций рессор и гасителя;
• приращение деформаций рессор за период колебаний;
• силы упругости в начале и в конце периода колебания рессорного комплекта:

,(8.17)

• вертикальная жесткость рессорного комплекта.

Рисунок 8.3-Работа сил трения

Для вагона условие энергетического баланса имеем равное:

(8.18)

Откуда требуемые значения сил трения, при допущении в виду малости, получаем равным:

(8.19)

Приращение вертикальных деформаций рессор находим по приращению амплитуд колебаний подпрыгивания и галопирования:

(8.20)

где — полубаза вагона.

Принято силы трения оценивать через удельные характеристики — коэффициенты относительной сил трения при сжатии и растяжении .

(8.21)

где — сила упругости в рессорном подвешивании от статических нагрузок.

(8.22)

и тогда выражение (8.19) представим как

(8.23)

Или

(8.24)

где — средняя требуемая величина коэффициента относительного трения гасителя колебаний.

Таким же образом можно получить параметр . По колебаниям подпрыгивания и галопирования выбирают наибольшее. Значение принятого коэффициента относительного трения для расчета гасителей колебаний является приближенным и в последующих исследованиях уточняется в динамических системах с сухим трением в рессорном подвешивании.

На основании энергетического способа могут быть определены параметры гасителей вязкого трения.

Работа сил трения гидравлического гасителя колебаний равна:

(8.25)

Откуда на основании энергетического принципа:

(8.26)