Строительная механика

Курсовой проект
Содержание скрыть

изучение метода расчета динамической системы;

  • исследование колебаний вагона на рессорах.

Решаемые задачи:

определение характеристик расчетных моделей подсистем;

  • изучение свободных и вынужденных колебаний;
  • определение параметров гасителей рессорного подвешивания вагона.

Объектом исследования является модель крытого вагона 11-066 с одинарным рессорным подвешиванием.

Таблица 2.1

Характеристика задания

№ вар

Тип вагона и его модель

Степень загрузки

Число пружин в рессорном комплекте

Неровность (П,К)

по массе

по объему

амплитуда

, мм

длина волны ,

м

1

11-066

1

1

7

8

12,5

Таблица 2.2

Параметры модели кузова и груза

Название элемента

Обозначение

параметра

Значение

Внутренние размеры кузова, мм:

— длина;

— ширина;

— высота по боковой стене

L

B

H

13844

2760

2791

База модели, мм

2l

10000

Размеры элементов кузова, мм:

— толщина торцевой стены;

— толщина боковой стены;

— высота рамы.

aT

hp

20

20

360

Поперечное расстояние между осями рессорного подвешивания, мм:

2b

2036

Массы вагона (тары), кг;

22000

Масса груза, кг;

68000

Масса тележки, кг;

4800

Масса надрессорной балки, кг;

MНБ

600

3.1 Допущения по расчетной модели

При выборе динамической расчетной модели принимаем следующие допущения:

  • динамическую систему представляем в виде системы твердых тел;
  • полагаем, что в рессорном подвешивании отсутствуют диссипативные силы сухого и вязкого трения, система вследствие этого будет являться консервативной;
  • грузы рассматриваем как твердые тела с жестким присоединением к кузову вагона;
  • рессорные комплекты тележек имеют линейную силовую характеристику;
  • путь считаем абсолютно жестким.

3.2 Источник возмущений

[Электронный ресурс]//URL: https://drprom.ru/kursovoy/po-stroitelnoy-mehanike/

В качестве источника возмущения принимаем гармоническую неровность первого вида:

,(3.1)

где — частота изменения гармонической неровности:

,(3.2)

  • скорость движения вагона.

3.3 Метод расчета и уравнения колебаний системы

Физическая модель метода расчета

Для расчета системы используем метод реактивных усилий. Колебания кузова в пространстве определяем по движению центра масс кузова : тремя линейными и тремя угловыми его перемещениями по направлению координатных осей кузова (рисунок 4.1).

Движение всех других частей кузова находим по колебаниям центра масс кузова и координатам этих частей, .

Узел , движение которого будем изучать, условимся называть центрально-координатным узлом.

Центрально-координатный узел полагаем имеет внутренние линейные и угловые связи по направлению координатных осей . Считаем, что все усилия, действующие на рассматриваемое тело, через внутренние элементы-вставки передаются в связи центрально-координатного узла и здесь взаимно уравновешиваются на основании принципа Лангранжа-Деламбера.

Усилия, которые подходят к узлу, являются активными. Они вызывают в связях реакции: — сил инерции, — сил упругости, — сил вязкого трения, — возмущающие силы и другие, равные по величине активным силам и противоположно по направленные, где — номер реакции и номер перемещения.

По видам перемещений кузова колебаниям присвоены названия:

  • колебание подергивания (линейное по оси );
  • колебание подпрыгивания (линейное по оси );
  • колебание бокового относа (линейное по оси );
  • колебание бокового поворота (угловое вокруг оси );
  • колебание виляния (угловое вокруг оси );
  • колебание галопирования (угловые вокруг оси ).

Уравнения колебаний вагона

Уравнения колебаний вагона в общем случае запишутся из уравнений равновесия реакций в центрально-координатных связях кузова:

(3.3)

Для сил инерции и сил упругости с линейными характеристиками значения реакций будем записывать через коэффициенты от единичных воздействий:

(3.4)

где — коэффициенты реакций сил инерции и упругости от единичных возмущений: .

Уравнения колебаний (3.3) в этом случае можно представить в развернутой записи как систему уравнений вида:

(3.5)

3.4 Структура физико-математической модели динамической систе мы и ее топологическая модель

По видам нагрузок и подконструкций расчетную модель вагона представим в виде отдельных подсистем — блок-моделей.

В общем случае основными подсистемами расчетной модели являются:

1. Топологическая модель;

2. Инерционная модель;

3. Виброзащитная модель;

4. Диссипативная модель вязкого трения;

5. Диссипативная модель сухого трения;

6. Модель возмущающих нагрузок;

7. Гравитационная модель сил тяжести.

Частную топологическую модель представляем в виде невесомых подконструкций, с соответствующими размерами и связями между ними, массами, силовыми устройствами, центрально-координатными узлами.

Топологическая модель подразделяется на отдельные подсистемы, работающие с заданным видом нагрузок блок-моделей.

Топологическими характеристиками динамической системы являются:

  • общие размеры динамической системы;
  • геометрические размеры отдельных элементов, узлов, частей, единиц подвижного состава;
  • положение центров масс и координатных осей подконструкций.

В качестве частей конструкции в физических моделях выступают: кузов вагона, рамы тележек, колесные пары, рессорные комплекты, подрессоренные грузы и т.п.

В расчетных моделях узлы подконструкций в зависимости от вида их нагрузок будем в дальнейшем называть инерционными, виброзащитными, диссипативными и так далее.

4.1 Характеристика инерционно-топологической подсисте мы

Для определения характеристик инерции разбиваем кузов на узлы инерции: раму, торцевые и боковые стены, крышу, надрессорные балки, груз и указываем размеры частей на схеме (рис 4.1)

Считаем в инерционных элементах (частях кузова) массы распределенными равномерно по их объемам.

Заменяем распределенные массы элементов на сосредоточенные и располагаем их в центрах масс элементов.

Для определения координат центров масс элементов и кузова принимаем начальную систему координат . Ось направим по оси автосцепки, другие — — по осям симметрии кузова (рисунок 4.1).

Координаты центров тяжести элементов в системе координат заносим в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Характеристики узлов

M, кг

l, мм

b, мм

h, мм

x, мм

y, мм

z, мм

Рама

7000

13870

3200

360

0

-1367

0

Тор. стена

350

20

2760

2791

6925

118,6

0

Бок. стена

1559

13870

20

2791

0

118,6

1590

Крыша

1603

13870

3200

587

0

1777

0

Груз

68000

13844

2760

2791

0

118,6

0

Над. Бал.

600

325

2590

325

5000

-1799

0

Сумма(М)

78512

Положение центра масс кузова и его главных координатных осей

Положение центра масс кузова определяется координатами .

Из условия равенства суммы моментов инерции элементов по оси и общего для кузова от возмущений , выражения координат равны:

,(4.1)

где — массы кузова, участвующие в колебаниях по направлению осей :

;

  • координаты центров масс элементов и груза в начальной системе координат .

1

1

Рисунок 4.1- Топологическая модель кузова вагона

В центре масс кузова помещаем центрально-координатную систему . Поскольку оси системы совпадают с осями симметрии кузова, то они будут являться главными осями тела инерции.

Находим расстояние от центра масс вагона до уровня верха пружин рессорных комплектов:

мм(4.2)

где — расстояние от оси автосцепки до верха пружин, м.

4.2 Характеристики инерции

Характеристики инерции определяются ускорениями колебаний центра масс кузова по направлению координатных осей кузова.

Для определения характеристик инерции, в центрах масс элементов устанавливаем местные координатные оси . При определении коэффициентов инерции задаем последовательно центру масс тела перемещения с ускорением , находим в центрах масс элементов силы инерции и моменты сил инерции и от них реакции сил инерции в центре масс тела (рис. 4.2).

Реакции образуют матрицу коэффициентов инерции . Поскольку оси кузова являются главными и центральными, то побочные реакции равны нулю ().

Тогда в качестве характеристик инерции будут выступать главные коэффициенты инерции тела .

Поскольку оси параллельны осям координат тела , то от коэффициенты масс и моментов инерции масс кузова будут равны:

,(4.3)

где — коэффициенты инерции масс от линейных ускорений (), кг;

  • коэффициенты инерции масс от угловых ускорений (), кгм 2 ;
  • моменты инерции масс элементов относительно местных координатных осей , кгм 2 ;
  • координаты центров тяжести элементов в системе координат .

Таблица 4.2

Моменты инерции масс,

Название элемента

Ix

Iy

Iz

Рама

1,91E+10

1,182E+11

1,313E+11

Торцовая стена

4,54E+08

1,701E+10

1,701E+10

Боковая стена

4,98E+09

2,893E+10

2,501E+10

Крыша

6,47E+09

2,707E+10

3,213E+10

Груз

8,83E+10

1,129E+12

1,13E+12

Надрессорная балка

2,28E+09

1,534E+10

1,728E+10

Ix общ

Iy общ

Iz общ

1,293E+11

1,4E+12

1,41E+12

4.3 Математическая инерционная модель

Математической инерционной моделью кузова с произвольными координатными осями и центрально главными осями являются выражения (4.4, 4.5):

(4.4)

(4.5)

5.1 Характеристики рессорного подвешивания двухосной тележки гру зового вагона

Таблица 5.1

Параметры пружин рессорного комплекта

№ п/п

Параметр

Наружная пружина,

Внутренняя пружина,

1

Средний диаметр, мм

Диаметр сечения пружины, мм

2

Число рабочих витков

3

Высота пружины в свободном состоянии, мм

Вертикальная жесткость блока двухрядной пружины

Жесткость двухрядной пружины равна сумме жесткостей наружной и внутренней однорядных пружин :

,(5.1)

где — номер однорядной пружины в блоке многорядной пружины .

Жесткости наружной и внутренней пружин определяем по формуле:

,(5.2)

где — диаметр прутка;

  • средний диаметр пружины;
  • модуль упругости второго рода (Н/м 2 ).

Жесткости наружной и внутренней пружин соответственно:

;.

Жесткость одной двухрядной пружины равна:

Так как рессорный комплект состоит из 7 двухрядных пружин, то вертикальная жесткость рессорного комплекта составляет:

,(5.3)

Поперечная жесткость однорядных пружин

Поперечная жесткость пружин определяется по формуле:

,(5.4)

где — боковая нагрузка на пружину;

  • поперечное смещение верхнего узла пружины при защемленных концах пружины:

,(5.5)

где — коэффициенты:

(5.6)

, — полярный и осевой моменты инерции сечения прутка однорядной пружины:

(5.7)

  • диаметр прутка однорядной пружины;
  • модули упругости первого и второго рода, ( Н/м 2 ).

  • свободная высота пружины;
  • деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой:

,(5.8)

  • массы тары, тележки, надрессорной балки, груза;
  • ускорение свободного падения, 9,8 м/с 2 ;
  • вертикальная нагрузка на один рессорный комплект, .

Деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой равна:

Таблица 5.2

Значения коэффициентов и моментов инерции для пружин

k 1 , 1/Нм2

k 2 , 1/Н

, м 4

, м 4

Наружная пружина

9,4410 -5

3,6410 -6

7,9510 -8

3,9710 -8

Внутренняя пружина

58,610 -5

8,610 -6

1,2810 -8

0,6410 -8

Поперечная жесткость наружной и внутренней пружин соответственно:

Поперечная жесткость двухрядной пружины и рессорного комплекта

Двухрядная пружина имеет жесткость:

(5.9)

Жесткость рессорного комплекта равна:

(5.10)

5.2 Нагруженность системы силами упругости и реакциями сил упру гости

Последовательно задаем центру масс кузова перемещения , строим схемы перемещений, находим перемещения упругих связей и по ним — деформации и усилия по направлению координатных осей рессорного комплекта .

Для грузового вагона, находящегося на жестком пути, возможными перемещениями являются:

q 1 — перемещения от колебания подергивания;

q 2 — от колебания подпрыгивания;

q 3 — бокового относа:

q 4 — бокового поворота;

q 5 — колебания виляния;

q 6 — колебания галопирования.

Рисунок 5.1 Расчетная схема вагона

Рисунок 5.2 — Схема нагруженности от q 1

Деформации: du =U2 -U1 =q1 -0=1; dv =V2 -V1 =0; dw =W2 -W1 =0.

Силы упругости: Pu =Cu du =42,95105 1=42,95105 (Н).

Реакции:

X=0; r11 =4Pu =4Cu du =442,95105 =171,8105 (Н);Y=0; r21 =0;

Z=0; r 31 =0;Mx =0; r41 =0;

My =0; r51 -Pu 1 b1 +Pu 2 b2 -Pu 3 b3 +Pu 4 b4 =0; r51 =0 (вагон симметричный);

Mz =0; r61 -4Pu (s) hc * =0; r61= 4Pu (s) hc * =442,95105 2,169=351,1105 (Нм).

Рисунок 5.3 — Схема нагруженности от q 2

Деформации: d v =V2 -V1 =q2 -0=1.

Силы упругости: P v =Cv dv =4106 1=4106 (Н).

Реакции:

  • X=0;
  • r 12 =0;
  • Y=0;
  • r 22 =4Pv =4Cv dv =44106 1=16106 (Н);
  • Z=0;
  • r 32 =0;

M x =0; r42 =0;

M y =0; r52 =0;

M z =0; r62 +Pv 1 l1 +Pv 2 l2 -Pv 3 l3 -Pv 4 l4 =0; r62 =0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.4 — Схема нагруженности от q 3

Деформации: du =U2 -U1 =0; dv =V2 -V1 =0; dw =W2 -W1 =q3 -0=1.

Силы упругости: Pw =Cw dw =42,95105 1=42,95105 (Н).

Реакции:

X=0; r 13 =0;Y=0; r23 =0;

Z=0; r33 =4Pw =4Cw dw =442,95105 1=171,8105 (Н);

Mx =0; r43 -Pw 1 hc * -Pw 2 hc * -Pw 3 hc * -Pw 4 hc * =0;

r43 =4Pw hc * =442,95105 2,169=351,1105 (Нм)

M y =0; r53 =0 (вагон симметричный);

M z =0; r63 =0.

Рисунок 5.5 — Схема нагруженности от q 4

Деформации: dv 1 =V2 -V1 =-bq4 -0=1,018(м); dv 2 =V2 -V1 =bq4 -0=1,018(м)

d w =W2 -W1 =-hc q4 -0=2,0441=2,044(м);

Силы упругости: Pv =Cv dv =4106 1,018=4,072106 (Н);

Pw =Cw dw =-Cw hc =42,95105 2,044=87,777105 (Н).

Реакции:

X=0; r14 =0; Y=0; r24 +Pv 1 -Pv 2 +Pv 3 -Pv 4 =0; r24 =0 (вагон симметричный);

Z=0; r34 +Pw 1 +Pw 2 +Pw 3 +Pw 4 =0; r34 = -4 Pw =487,777105 =351,1105 (Н);

Mx =0; r44 -Pv 1 b1 -Pv 2 b2 -Pv 3 b3 -Pv 4 b4 -Pw 1 hc * -Pw 2 hc * -Pw 3 hc * -Pw 4 hc * =0; r44 =4Pv b+4Pw hc * =44,072106 1,018+487,777105 2,169=927,3105 (Нм);

My =0; r54 — Pw 1 l1 -Pw 2 l2 -Pw 3 l3 -Pw 4 l4 =0; r54 =0 (вагон симметричный);

Mz =0; r64 -Pv 1 l1 +Pv 2 l2 +Pv 3 l3 -Pv 4 l4 =0; r64 =0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.6 — Схема нагруженности от q 5

Деформации: du 1 =U2 -U1 =b1 q5 -0=1,018(м); du 2 =U2 -U1 =-b1 q5 -0=1,018(м);

dv =V2 -V1 =0; dw 1 =W2 -W1 =-l1 q5 -0=5(м); dw 3 =l3 q5 -0=5(м).

Силы упругости: Pu =Cu du =42,95105 1,018=43,723105 (Н);

Pw 1 =Cw dw 1 =-Cw l1 =42,95105 5=214,75105 (Н).

Реакции:

X=0; r 15 =0;Y=0; r25 =0;

Z=0; r35 +Pw 1 +Pw 2 -Pw 3 -Pw 4 =0; r35 =0 (вагон симметричный);

Mx =0; r45 -Pw 1 hc * -Pw 2 hc * +Pw 3 hc * +Pw 4 hc * =0; r45 =0 (вагон симметричный);

My =0; r55 -Pu 1 b1 -Pu 2 b2 -Pu 3 b3 -Pu 4 b4 -Pw 1 l1 -Pw 2 l2 -Pw 3 l3 -Pw 4 l4 =0;

r55 =4Pu b+4Pw l=443,723105 1,018+4214,75105 5=447,3106 (Нм);

Mz =0; r65 +Pu 1 hc * -Pu 2 hc * + Pv 3 hc * -Pu 4 hc * =0; r65 =0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.7 — Схема нагруженности от q 6

Деформации: du =U2 -U1 =hc q6 -0=2,044(м); dv 1 =dv 2 =V2 -V1 =l1 q6 -0=5(м);

dv 3 =dv 4 =V2 -V1 =l3 q6 -0=5(м).

Силы упругости: Pu =Cu du =42,95105 2,044=87,777105 (Н);

P v =Cv dv =4106 5=2107 (Н).

Реакции:

X=0; r16 =4Cu hc =442,95105 2,044=351,1105 (Н);

Y=0; r26 -Pv 1 -Pv 2 +Pv 3 +Pv 4 =0; r26 =0 (вагон симметричный);

Z=0; r 36 =0;

Mx =0; r46 +Pv 1 b1 -Pv 2 b2 -Pv 3 b3 +Pv 4 b4 = 0; r46 =0 (вагон симметричный)

My =0; r56 -Pu 1 b1 +Pu 2 b2 -Pu 3 b3 +Pu 4 b4 =0; r56 =0 (вагон симметричный);

Mz =0; r66 -Pu 1 hc * -Pu 2 hc * -Pu 3 hc * -Pu 4 hc * -Pv 1 l1 -Pv 2 l2 -Pv 3 l3 -Pv 4 l4 =0;

r 66 =487,777105 2,169+42107 5=476,1106 (Нм).

5.3 Математическая модель виброзащитной системы вагона

На кузов вагона действует система реакций сил упругости, обусловленная колебаниями . Реакции в связях по направлению координатных осей от .суммируются, образуя в узле вектор реактивных усилий:

(5.12)

где — матрица коэффициентов жесткости несимметричного вагона:

,(5.13)

  • вектор перемещений центра масс кузова вагона.

6.1 Физическая модель нагруженности вагона

Рисунок 6.1 — Схема для расчета перемещения колесных пар

Нагруженность характеризуется силами упругости в рессорном подвешивании

,(6.1)

где — углы сдвига фаз в перемещениях колесных пар:

,(6.2)

  • амплитуда и длина волны вертикальной неровности пути;
  • частота вынужденных кинематических возмущений,

(6.3)

При средней скорости движения вагона получим:

Перемещения буксовых узлов равны перемещениям точек контакта колес с рельсами (рисунок 6.1):

(6.4)

Из схем перемещений боковых рам находим перемещения нижних опорных поверхностей рессорных комплектов:

(6.5)

Деформации и силы упругости в виброзащитных связях при значениях перемещений (6.5) составляют:

(6.6)

(6.7)

Рисунок 6.2 — Расчетная схема для определения возмущающей нагрузки

6.2 Математическая модель внешних возмущающих нагру зок

Изначально силы упругости (6.7) в рессорном подвешивании на схемах (рисунок 6.2) положительны.

Силы упругости (6.7) вызывают в связях центрально-координатного узла кузова реакции возмущающих нагрузок (рисунок 6.2).

Из равновесия кузова вектор кинематических возмущающих нагрузок равен:

,(6.8)

где .

При значениях сил (6.7) и (6.4) реакции (6.8) принимают значения:

(6.9)

(6.10)

(6.11)

В несимметричном вагоне возмущающие усилия вызывают колебания . Поскольку колебания через реакции связаны с , а последние через реакции с (5.12 ), то возникают все колебания кузова . Кузов испытывает сложные вынужденные колебания.

В симметричном вагоне при линейные реакции (6.9) не меняются, а угловые — (6.10), (6.11) становятся равными:

(6.12)

Возмущающие реакции вызовут в системе колебания и . Колебание возникает вследствие взаимосвязи через реакции . Если реакции малы , то будем иметь только два вида колебаний — и .

В реакциях возмущения от колесных пар сдвинуты по фазе (), что создает некоторые затруднения в решении задачи. Для упрощения решения сложим составляющие гармонических возмущений в этих реакциях. Сложение выполним графическим способом, используя интерпретацию вращающихся векторов и их проекций на горизонтальную ось .

Рисунок 6.3 — Векторная диаграмма

Для сложения функций в реакции (6.9), проведем радиусом, равным амплитуде кинематического возмущения , окружность и в соответствии с углами сдвига фаз , отложим последовательно амплитуды возмущений по колесным парам (рисунок 6.3).

Сложим векторы амплитуд , и , в тележках и получаем значения .

Выполнив сложение векторов по тележкам, находим эквивалентную амплитуду вектора возмущений для вагона — , которая соответствует колебанию .

Из векторной диаграммы определяем: .

Проекция вектора на горизонтальную ось дает функцию суммарного возмущения на вагон:

(6.13)

Эта функция заменяет выражение, стоящее в фигурных скобках (6.9).

Значение суммарной возмущающей реакции на вагон теперь равно:

(6.14)

где — амплитуда возмущающей силы по колебанию подпрыгивания, .

Аналогично изложенному производим сложение возмущающих функций в реакции . Знак минус во второй квадратной скобке учитывается изменением направления вектора на обратный.

Суммарное значение возмущающей функции по колебанию галопирования равно:

,(6.15)

где — амплитуда возмущающей силы по колебанию галопирования.

Выводы:

1. Наибольшие значения сил вертикальных возмущений получим, если векторы амплитуд возмущений по тележкам будут совпадать. Это произойдет в случае равенства базы вагона длине волны неровности. При этом реакция возмущений по шестому колебанию становится бесконечно малой, .

2. Наибольшего значения реакция достигает, когда совпадают векторы амплитуд колебаний . Это происходит в случае, когда база вагона равна половине длины неровности пути . Однако в этом случае реакция возмущений по колебанию подпрыгивания обращается в ноль, .

6.3 Математическая модель динамики вагона на рессорах

Математической моделью является система дифференциальных уравнений, описывающая колебания вагона в функции времени.

Уравнения колебаний получаем из уравнения динамического равновесия реакций в центрально-координатном узле кузова, суммируя реакции по блок-моделям силовых подсистем: инерционной, виброзащитной, внешних возмущений. Для несимметричного вагона, с центрально-главными осями система уравнений колебаний равна:

(6.16)

Уравнения колебаний системы в матричном представлении:

  • в развернутой форме:

(6.17)

  • в сокращенной форме записи:

(6.18)

Для симметричного вагона, из-за отсутствия многих побочных реакций, получаем независимые уравнения колебаний:

(6.19)

и взаимосвязанные уравнения боковых колебаний:

(6.20)

Уравнения колебаний (6.16 — 6.20) описывают совместные свободные и вынужденные колебания вагона. Рассмотрим динамику свободных и вынужденных колебаний.

7.1 Уравнения свободных колебаний вагона

Свободные колебания наблюдаются при прекращении действия возмущающих сил или при изменении силовых характеристик динамической системы.

Уравнения свободных колебаний кузова вагона, в системе главных, центрально-координатных осей:

  • для несимметричного вагона по реакциям сил упругости:

в развернутой форме:

,(7.1)

в развернуто-матричной форме:

,(7.2)

  • для симметричного вагона по реакциям сил инерции и упругости:

(7.3)

(7.4)

7.2 Определение частот свободных колебаний

Решениями однородных уравнений (7.1 — 7.4) являются тригонометрические функции:

(7.5)

Или в общем виде:

(7.6)

Вторые производные являются ускорениями колебаний тела:

,(7.7)

где — амплитуда свободных колебаний;

  • частота свободных колебаний.

Подставляя и в уравнения свободных колебаний (7.1 — 7.4), получаем уравнения колебаний в алгебраической форме:

,(7.8)

,(7.9)

(7.10)

В полученных уравнениях амплитуды колебаний не равны нулю, поскольку система колеблется. Чтобы тождества удовлетворялись, необходимо равенство нулю определителей составленных из коэффициентов при неизвестных амплитудах, то есть:

  • для несимметричного вагона

,(7.11)

  • для симметричного вагона

(7.12)

(7.13)

Полученные уравнения (7.11 — 7.13) являются уравнениями частот. Из решения уравнения (7.12), находим частоты свободных колебаний, 1/с:

(7.14)

Раскрывая определитель (7.13), получаем выражение вида

(7.15)

После преобразования (7.15) приходим к характеристическому уравнению:

,(7.16)

где — частотный параметр, .

Из уравнения (7.16) корни равны:

7.3 Формы колебаний вагона

Частными решениями для симметричного вагона являются функции:

  • для независимых колебаний:

(7.19)

  • для взаимосвязанных боковых колебаний:

(7.20)

Частным решениям (7.19) отвечают формы колебаний подергивания, подпрыгивания, виляния, галопирования. Решениям уравнений (7.20) соответствуют колебания боковой качки I и II рода.

8.1 Резонансные колебания кузова вагона

При движении по гармонической неровности пути реактивные усилия в симметричном вагоне вызывают колебания подпрыгивания и галопирования, которые описываются уравнениями (6.19):

(8.1)

(8.2)

Уравнения (8.1) и (8.2) однотипны. Проследим решение одного из уравнений, например, колебания подпрыгивания. Другое будет решаться аналогично первому.

Общее решение уравнения (8.1) складывается из частного решения однородного уравнения (без первой части) и частного решения неоднородного уравнения (с правой частью):

(8.3)

Частное решение отвечает свободным колебаниям системы (рис.8.1,б), а частное решение — вынужденным (рис. 8.1,а).

Произвольные постоянные являются амплитудами свободных и вынужденных колебаний. , Если подставим частные производные , соответственно в однородное и неоднородные уравнения, то найдем

(8.4)

Общее решение (8.3) представится теперь в виде:

(8.5)

Возможны следующие случаи колебаний системы:

  • нерезонансный, когда ;
  • резонансный, когда ;
  • случай близкий к резонансному, .

Резонансным случаем (режимом) колебаний считают тот, когда различия между частотами составляет не более 15%.

Колебания в нерезонансной области

При отклонении вагона от положения статического равновесия на величину , вагон совершает гармонические колебания, определяемые первым членом уравнения (8.5).

При воздействии на вагон только возмущающих нагрузок вагон совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой . Закон колебаний определяется вторым членом уравнения (8.5).

В случае воздействия на вагон одновременно начальных возмущений и возмущающих нагрузок движения вагона определяются общим уравнением (8.5).

Из-за наличия в системе сил трения, свободные колебания с течением времени затухают и движение системы определяется вторым членом уравнения (8.5).

Колебания вагона в резонансном и близким к резонансу режимах

Считаем, что частоты возмущений близки к частоте свободных колебаний:

(8.6)

где — бесконечно малая величина.

Динамика вагона определяется законом движения (8.5) с учетом значений параметров (8.4).

Произвольные постоянные в решении (8.5) найдем из начальных условий движений системы. Полагаем, в начальный момент движения перемещение и скорость были равны нулю, то есть:

(8.7)

Из решения системы (8.7) находим:

(8.8)

Общее решение (8.5) с учетом (8.8) и последующим ее преобразованием через тригонометрические функции половинных углов принимает вид:

(8.9)

Периоды тригонометрических функций равны:

(8.10)

Рисунок 8.1 — График колебаний биения

Период , поскольку — бесконечно малая величина. Закон колебаний системы по условию (8.9) показан на рисунке 8.1. Колебания заданного вида называют колебаниями биения.

При более близком совпадении частот, в выражении (8.9) можно принять . Тогда закон колебаний подпрыгивания при учете значения (8.8) будет выражен функцией:

(8.11)

Колебания пропорциональны времени и нарастают с течением времени (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 — График колебаний

За время одного цикла колебаний происходит приращение амплитуд колебаний на величину:

,(8.12)

Аналогично изложенному можно решить уравнение колебаний галопирования (8.2) и найти параметры колебаний:

(8.13)

Выводы:

Колебания динамической системы без сил трения опасны тем, что в резонансном и околорезонансном режимах происходят значительные нарастания амплитуд колебаний. Возникает обезгрузка колесных пар и потеря их устойчивости против вкатывания на головку рельса. Возможны саморасцепы вагонов.

Уровень колебаний определяется величиной возмущающих нагрузок , а последние соотношениями:

  • длины базы вагона и неровности пути;
  • частот вынужденных и свободных колебаний ().

3. Для снижения колебаний необходимо ввести в рессорное подвешивание диссипативные силы: вязкого или сухого трения.

8.2 Определение параметров гасителей колебаний

Параметры гасителей сухого трения

Необходимые значения сил трения гасителей в первом приближении определим из условия энергетического принципа.

Работа сил трения гасителей за один период колебаний должна равняться приращению потенциальной энергии рессорного подвешивания вагона за тот же период:

(8.14)

где — число гасителей и рессор в вагоне.

  • работа сил трения и приращение потенциальной энергии в рессорном комплекте при колебании по оси .

Работу сил сухого трения фрикционного гасителя найдем по площади гистерезисной петли силовой характеристики гасителя (рис.8.3, а):

,(8.15)

а приращение потенциальной энергии — по работе сил упругости (рис. 8.3,б):

,(8.16)

где — силы трения при сжатии и растяжении гасителя в среднем положении;

  • амплитуда деформаций рессор и гасителя;
  • приращение деформаций рессор за период колебаний;
  • силы упругости в начале и в конце периода колебания рессорного комплекта:

,(8.17)

  • вертикальная жесткость рессорного комплекта.

Рисунок 8.3-Работа сил трения

Для вагона условие энергетического баланса имеем равное:

(8.18)

Откуда требуемые значения сил трения, при допущении в виду малости, получаем равным:

(8.19)

Приращение вертикальных деформаций рессор находим по приращению амплитуд колебаний подпрыгивания и галопирования:

(8.20)

где — полубаза вагона.

Принято силы трения оценивать через удельные характеристики — коэффициенты относительной сил трения при сжатии и растяжении .

(8.21)

где — сила упругости в рессорном подвешивании от статических нагрузок.

(8.22)

и тогда выражение (8.19) представим как

(8.23)

Или

(8.24)

где — средняя требуемая величина коэффициента относительного трения гасителя колебаний.

Таким же образом можно получить параметр . По колебаниям подпрыгивания и галопирования выбирают наибольшее. Значение принятого коэффициента относительного трения для расчета гасителей колебаний является приближенным и в последующих исследованиях уточняется в динамических системах с сухим трением в рессорном подвешивании.

На основании энергетического способа могут быть определены параметры гасителей вязкого трения.

Работа сил трения гидравлического гасителя колебаний равна:

(8.25)

Откуда на основании энергетического принципа:

(8.26)