Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины
В зависимости от вида функции преобразования прибора (преобразователя) его общая погрешность и ее составляющие различным образом зависят от значения измеряемой величины. Рассмотрим эти зависимости при разных функциях преобразования .
1. Зависимость Д(X ) и у(X ) при линейной функции Y = SX (Аддитивная и мультипликативная погрешности. Порог чувствительности)
Как уже отмечалось, функция преобразования вида присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора (в единицах выходной величины ) может возникать:
- во-первых, за счет аддитивного наложения на входную измеряемую величину некоторой малой неконтролируемой величины (например, шумы или наводки);
- во-вторых, из-за наличия аналогичной величины на выходе прибора — например, в случае дискретного характера (квантования) выходного сигнала (входной сигнал обычно имеет неправильный (аналоговый) характер);
- в третьих, за счет малых неконтролируемых изменений (нестабильности) чувствительности
Причем , , . С учетом этих факторов значение на выходе, очевидно, будет отличаться от теоретического значения на величину :
(В (1) слагаемым , имеющим более высокий порядок малости, пренебрегли).
Из (1) следует, что результат измерения величины может быть представлен в виде
аддитивной погрешностью
Таким образом, в случае линейной функции преобразования абсолютная погрешность измерения
Рис. 1
в общем случае состоит из суммы аддитивной и мультипликативной погрешностей. Первая из них не зависит от измеряемой величины, а вторая — пропорциональна ей (рис 1а).
При этом важно отметить, что так ведут себя в зависимости от абсолютные (размерные) значения этих погрешностей.
Поскольку с увеличением возрастает общая погрешность , может показаться, что с ростом измеряемой величины точность измерения будет уменьшаться. Однако, согласно (4) относительная погрешность , характеризующая, как известно, точность измерения, равна
Из следует два важных вывода. Во-первых, при представлении погрешности в относительном (безразмерном) виде , ее мультипликативная составляющая становится равной погрешности чувствительности , которая не зависит от значения измеряемой величины , а аддитивная составляющая оказывается обратно пропорциональной (рис. 1б).
Погрешность измерений. Точность и достоверность результатов измерений
... единицах измеряемой величины, как разность между результатом измерения А и истинным значением А 0 : ∆=А-А 0 . относительную погрешность - как отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению: δ=Δ/А0 Так как А 0 =Аn , то на практике ...
Во-вторых, при линейной функции преобразования точность измерения повышается с увеличением измеряемой величины. Отсюда практическая рекомендация: при линейной функции преобразования в целях повышения точности измерения следует выбирать диапазон измерений так, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины находилось как можно ближе к верхнему приделу шкалы прибора. Из (4), (5) и рис. 1 видно, что при больших значениях измеряемой возрастает вклад мультипликативной составляющей в общую погрешность, и, наоборот, при малых основную часть погрешности составляет аддитивная погрешность.
На практике погрешности измерения конкретным прибором обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или со знаком . Например, в техническом описании серийно выпускаемого цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает значения, которое может быть задано либо в абсолютных значениях:
где первое слагаемое — аддитивная, а вторая — мультипликативная погрешность, либо в относительных значениях:
где вначале указана погрешность чувствительности (мультипликативная), а за ней относительная аддитивная составляющая. Разумеется, в конечном экземпляре такого частотомера или при конкретном измерении погрешность может быть меньше указанного предела.
Рис. 2
С учетом такой неопределенности задания погрешности выходную величину следует считать связанной с входной величиной соотношением , где увеличивается с ростом из-за мультипликативной составляющей. При этом вместо номинальной зависимости в виде прямой линии получается расширяющаяся полоса шириной (рис. 2), характеризующая зону неопределенности измерений, т. е. неопределенности наших знаний о действительном значении .
порог чувствительности
2. Зависимость погрешности от измеряемой величины при нелинейной функции преобразования вида Y = a / (b + X )
Нетрудно выяснить, что преобразование такого вида выполняется в простейшем омметре со стрелочным указателем — микроамперметром (рис 3а).
Измеряемой величиной является , а выходной — ток :
Рис. 3
Из видно, что, во-первых, шкала такого прибора нелинейна, т. е. неравномерна. Во-вторых, входная и выходная величины находятся в обратной зависимости — большему значению соответствует меньший ток (рис 3б).
Начало шкалы прибора, соответствующее должно соответствовать максимальному току указателя , а конец шкалы при должен соответствовать нулю тока. Обычно перед измерением проверяют правильность градуировки шкалы: при разомкнутом входе () убеждаются, что стрелка находится на крайнем левом делении, а при короткозамкнутом входе ( и ) — на крайнем правом. При необходимости последнее условие выполняют изменяя .
Считая, что погрешность измерения определяется погрешностью измерения тока , продифференцируем по :
Отсюда
Знак минус в (10) отражает обратную зависимость и . Но поскольку погрешность обычно указывается с двойным знаком , этот минус в дальнейшем не будем учитывать.
Метрология и ее физические величины
... физической величиной. Безразмерной называется такая физическая величина, в размерности которой основные физические величины входят в степени, равной нулю. В метрологии существуют два вида уравнений, связывающих между собой различные физические величины: уравнение связи между величинами ... Основное понятие метрологии - измерение. Измерение - это нахождение значения физической величины опытным путем ...
Выразим относительную погрешность измерения:
Из (11) видно, что при стремящемся к 0 и к . Это значит, что есть , при котором будет минимальна. Известно, что для нахождения координат минимума зависимости необходимо приравнять нулю производную по :
Откуда следует, что при (рис 3в).
Подставив это значение в (11), найдем
где есть приведенная погрешность микроамперметра, характеризующая его класс точности.
Сам по себе стрелочный указатель имеет линейную функцию преобразования ( — угол отклонения стрелки) и, следовательно, равномерную шкалу по току . Отсюда следует, что если , а значит минимальна и , то стрелка будет находиться посредине шкалы (рис 3б).
погрешность подчиненность нелинейный квантовый
Итак, во-первых, при рассмотренном виде нелинейного преобразования минимум относительной погрешности находится в середине шкалы. Значит надо соответствующим образом выбирать диапазон шкалы . Во-вторых, из (12) следует, что этот минимум в 4 раза больше приведенной (минимальной) погрешности указателя (см (12)).
Погрешность квантования
Измерительные приборы с дискретной (квантованной) формой выходной величины, к которым относятся цифровые приборы, имеют ступенчато-линейную функцию преобразования . Размер ступени определяется шагом квантования выходной величины . При этом разным значениям непрерывной измеряемой величины соответствуют дискретные значения выходной величины . При этом показания прибора тоже будут дискретны с шагом квантования , где — чувствительность линейной функции , которая имела бы место при . Отклонение ступенчатой функции преобразования от линейной приводит к появлению погрешности квантования, зависимость которой от измеряемой величины имеет пилообразный вид (рис 5а, б, в).
Из рис. 4 видно, что существует три разновидности квантования выходной величины :
Рис. 4
В первом случае значение , соответствующее зависимости заменяется дискретным значением , равным ближайшему уровню квантования. Несовпадение и будет определять погрешность квантования. Из рис. 5а видно, что значения погрешности квантования лежат в пределе от до . При этом все значения равновероятны и математическое ожидание такой погрешности равно 0. Из этого следует, что в этом случае погрешность квантования есть чисто случайная погрешность с равномерным распределением.
Во втором случае непрерывные значения заменяются на , соответствующие нижнему ближайшему уровню. Из рис. 5б видно, что погрешность квантования в этом случае лежит в пределе от до 0 и ее математическое ожидание равно . Видим, что в отличие от первого случая при данном способе квантования систематическая составляющая погрешности не равна нулю, а случайная, равномерно распределенная составляющая лежит в прежнем пределе .
В третьем случае отожествляется — ближайшим верхним уровнем. Из рис. 5в видно, что погрешность квантования находится в интервале , ее систематическая составляющая равна , а случайная составляющая такая же, как и в двух предыдущих случаях.
