Реферат на тему: Архимед. Его математические достижения.
Архимед. Его достижения в области математики.
По словам Плутарха , Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе.
Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии , арифметике , алгебре . Так, он нашёл все полуправильные многогранники , которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях , дал геометрический способ решения кубических уравнений вида , корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы . Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать. Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа .
Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга , объём призмы и цилиндра , пирамиды и конуса . Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов ; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского . В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» (иногда называемой «Метод механических теорем») он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.
Методы очистки пылегазовых выбросов
... существующие методы очистки. 1. Методы очистки от пыли Для обезвреживания аэрозолей (пылей и туманов) используют сухие, мокрые и электрические методы. Кроме того, аппараты отличаются друг от друга ... использования продуктов рекуперации, требуемой степени очистки. Выбор производят на основании результатов технико-экономических расчетов. Адсорбционные методы очистки газов используют для удаления из ...
Архимед сумел установить, что сфера и конусы с общей вершиной, вписанные в цилиндр, соотносятся следующим образом: два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3 .
Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.
Шар, вписанный в цилиндр
Квадратура сегмента параболы
В сочинении Квадратура параболы Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).
Для доказательства Архимед подсчитал сумму бесконечного ряда:
Каждое слагаемое ряда — это общая площадь треугольников, вписанных в неохваченную предыдущими членами ряда часть сегмента параболы.
Помимо перечисленного, Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им «спирали Архимеда» , определил объёмы сегментов шара, эллипсоида , параболоида и двуполостного гиперболоида вращения.
Следующая задача относится к геометрии кривых. Пусть дана некоторая кривая линия. Как определить касательную в любой её точке? Или, если переложить эту проблему на язык физики , пусть нам известен путь некоторого тела в каждый момент времени. Как определить скорость его в любой точке? В школе учат, как проводить касательную к окружности. Древние греки умели, кроме того, находить касательные к эллипсу , гиперболе и параболе . Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления.
Разработка технологического процесса на восстановление гильзы цилиндра
... узлов (в нашем случае двигатель Д-240) Kп = 4,0 Таблица 4 ... ремонта двигателей с годовой программой 10 - 80 тыс. единиц невозможно без совершенствования процессов очистки. Технологический процесс очистки двигателя, обеспечивает полную очистку деталей, повышение производительности и культуры ремонтных работ. ... для разборки головки цилиндров с клапанами11050х335351750Установка очистки ...
Схема архимедова метода вычисления числа
Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе «Об измерении круга» Архимед дал своё знаменитое приближение для числа : « архимедово число » . Более того, он сумел оценить точность этого приближения: . Для доказательства он построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон.
В математике , физике и астрономии очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин — их экстремумы . Например, как среди цилиндров , вписанных в шар , найти цилиндр, имеющий наибольший объём ? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как решать задачи на экстремумы.
Идеи Архимеда почти на два тысячелетия опередили своё время. Только в XVII веке учёные смогли продолжить и развить труды великого греческого математика.
Математи́ческий ана́лиз ( классический математический анализ ) — совокупность разделов математики , соответствующих историческому разделу под наименованием « анализ бесконечно малых », объединяет дифференциальное [⇨] и интегральное [⇨] исчисления.
Метод исчерпывания ( лат. methodus exaustionibus ) — античный метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур. Идею метода, в не очень ясных выражениях, высказал ещё Антифон , однако разработку и применение осуществил Евдокс Книдский . Обоснование этого метода не опирается на понятие бесконечно малых , но неявно включает понятие предела .
Уравнения свертки. Обобщенные функции
... на примере нахождения решения изгиба балки в математическом пакете Maple. Поставленная цель определила постановку следующих задач: анализ существующих видов обобщенных функций; изучение пространства обобщенных функций; решение уравнений в обобщенных функциях. Курсовая работа состоит ...
Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.
В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед , например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.
Интеграл функции — аналог суммы последовательности бесконечно большого количества бесконечно малых величин. Неформально, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции .
Процесс нахождения интеграла называется интегрированием .
Согласно основной теореме анализа , интегрирование является операцией, обратной дифференцированию , чем помогает решать дифференциальные уравнения .
Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающихся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана .
Определение: Пусть — измеримое множество , а — неотрицательная вещественная функция, заданная на . Раз объём на конечное число непересекающихся измеримых частей при . Пусть . Рассмотрим сумму .Здесь — мера подмножества . Точная верхняя граница таких сумм, составленных для всевозможных разбиений множества указанного вида, конечная или бесконечная, называется интегралом от по множеству и обозначается . Если , то неотрицательная функция называется интегрируемой или суммируемой на множестве . Пусть теперь — произвольная вещественная функция, заданная на . Рассмотрим функции
Microsoft Excel, его функции и возможности
... ёты. В целом MS Excel содержит более 400 функций рабочего листа (встроенных функций). Все они в соответствии ... что используемое имя является именем функции. Параметры списка (аргументы функции) разделяются точкой с запятой (; - . ... в соответствии с изменившимися данными. Основные возможности электронных таблиц: 1. проведение однотипных сложных расчётов над большими наборами данных; 2. автоматизация ...
и
Обе эти функции неотрицательны на множестве и поэтому для них определены конечные или бесконечные интегралы и . Если по крайней мере один из этих интегралов конечен, то разность: называется интегралом от по и обозначается . Если оба интеграла и конечны, то конечен и интеграл . В этом случае функция называется интегрируемой или суммируемой на .
Дифференцирование по параметру
Пусть задан интеграл вида
В таком случае, производная по параметру t будет равна
Интеграл в древности
Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды . Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса ( примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом , и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем , который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод впоследствии использовали Цзу Чунчжи и Цзу Гэн для нахождения объёма шара.
Измерение функции распределения атомов серебра методом Штерна-Ламмерта
... бесконечно больших скоростях асимптотически приближается к оси абсцисс, следует, что слишком большие скорости молекул маловероятны. Значение наиболее вероятной скорости движения молекул соответствует максимуму кривой распределения [3, C. 34]. Вид функции распределения молекул ...
Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI веке , математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида. Используя математическую индукцию , он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов , но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени.
Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке . В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма , были заложены основы современного интегрального исчисления . Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли , которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.
Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Последовательность называется бесконечно малой , если .
Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Архимедова спираль — спираль , плоская кривая , траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O , в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O . Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV . Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
Учет прямых затрат в составе себестоимости продукции
... учет прямых затрат в составе себестоимости продукции. Целью исследования является изучение темы «Учет прямых затрат в составе себестоимости продукции. В рамках достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи: изучить теоретические аспекты и учета прямых затрат в составе себестоимости продукции (работ, услуг)»; ...
Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:
(1)
где k — смещение точки M по лучу r , при повороте на угол равный одному радиану.
Повороту прямой на соответствует смещение a = | BM | = | MA | = . Число a — называется шагом спирали . Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).
Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1).
Положительным значениям соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.
Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали . При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.
Площадь сектора
Площадь сектора OCM:
Смесеобразование и сгорание топлива в цилиндрах дизеля
... двигателей ещё больше. Для улучшения процесса смесеобразования необходимо, чтобы скорость впрыскивания возросла и её максимум был в конце впрыскивания. Тогда каждая последующая доза впрыскиваемого в цилиндр топлива будет проникать в ... т.е. получено путём прямой перегонки нефти. Мало- и ... в топливе нельзя, но тем не менее ясно, что газотурбинное может содержать их значительно больше, чем дизельное. ...
(2)
где , , .
При , , , формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:
где — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — .
Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом .
Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
Бесконечно малый отрезок дуги равен:
Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
где — приращение радиуса , при приращении угла на . Для бесконечно малого приращения угла , справедливо:
Поэтому:
так как и
или
Длина дуги равна интегралу от по в пределах от до :
Матема́тика ( др.-греч. μᾰθημᾰτικά < др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов [2] . Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам , но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.
Закон достаточного основания
... анализ закона достаточного основания. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1. изучение общего понятия логических законов 2. характеристика закона достаточного основания 3. анализ отношения к закону достаточного основания философов В своем реферате я ...
Экстре́мум ( лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве . Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума . Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума , а если максимум — точкой максимума . В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум) .
Цили́ндр ( др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей).
Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями — это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.
В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.
Другие виды цилиндра — (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.
Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.
Шар — геометрическое тело ; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии , не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара . Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра . Этот диаметр называется осью шара , а оба конца указанного диаметра — полюсами шара . Поверхность шара называется сферой : замкнутый шар включает эту сферу , открытый шар — исключает.
Объём — это аддитивная функция от множества ( мера ), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства . Первые точные определения были даны Пеано ( 1887 ) и Жорданом ( 1892 ).
Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции .
Пара́бола ( греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек , равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой , парабола является коническим сечением . Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом .
Ско́рость (часто обозначается , от англ. velocity или фр. vitesse ) — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта ; по определению, равна производной радиус-вектора точки по времени. Этим же словом называют и скалярную величину — либо модуль вектора скорости, либо алгебраическую скорость точки, т. е. проекцию этого вектора на касательную к траектории точки.
PAGE 4
