1.1. Магнітне поле. Індукція магнітного поля.
Закон Біо — Савара — Лапласа
електромагнітне
Розглянемо два досвіду.
Взаємодія між нерухомими електричними зарядами і постійними магнітами
а має місце тільки
Взаємодія між постійним електричним струмом і магнітною стрілкою (досліди Ерстеда)
| малюнок 1.1 |
індукцією магнітного поля
| малюнок 1.2 |
Виділимо в провіднику з струмом елементарний об’єм
dV = Sdl
, де
S
- Площа поперечного перерізу провідника,
dl
- Елемент довжини провідника. Елементу довжини провідника
dl
прийнято приписувати напрямок, що збігається з напрямком вектора щільності струму в провіднику (рис. 1.2).
елементом струму
Індукція магнітного поля d , Створюваного елементом струму в довільній точці М, визначається виразом
d = k [ , ] / 4p r3 , (1.1)
де — Радіус-вектор, що задає положення точки М відносно елемента струму.
закону Біо — Савара — Лапласа
магнітної постійної.
d = m0 [ , ] / 4p r3 . (1.2)
модуль d визначається виразом
dB = m 0 Idl sina / 4p r2
напрямок вектора d (Напрямок магнітного поля) перпендикулярно до площини, в якій лежать вектори и .
Якщо дивитися з концавектора d , То поворот вектора до вектору повинен відбуватися проти годинникової стрілки (див. рис. 1.2).
Напрямок магнітного поля можна визначити також по орієнтації вільної магнітної стрілки: направлення від південного полюса до північного такої стрілки збігається з напрямком поля в тому місці, де знаходиться стрілка (рис. 1.3).
| малюнок 1.3 |
Для магнітного поля, так само як і для електричного справедливий принцип суперпозиції: індукція магнітного поля створюваного струмом, поточним в провіднику кінцевих розмірів і довільної форми, дорівнює інтегралу індукції d , створюваних окремими елементами цього струму:
= o d = o m0 [ , ] / 4p r3 . (1.4)
закону Біо
правилом правого гвинта
Лінії магнітного поля зазвичай проводять з такою густотою, щоб число їх, що пронизує одиничну площадку, перпендикулярну до вектора , Було одно або пропорційно модулю в тому місці, де знаходиться майданчик.
| малюнок 1.4 |
Магнітне поле називається однорідним, якщо вектор однаковий у всіх його точках.
1.2. Застосування закону Біо — Савара — Лапласа
до розрахунку магнітних полів
Розрахувати магнітне поле в даній точці — значить знайти в цій точці модуль і напрям вектора . У загальному випадку це досить складне завдання, пов’язана з інтеграцією векторних величин. У ряді окремих випадків рішення виявляється простим.
Приклад 1.
| малюнок 1.5 |
позначимо через
I
ток в провіднику;
—
найкоротша відстань від провідника до точки
А,
в якій визначається ;
a1
и
a2
- Кути між радіусами-векторами, проведенниміот решт провідника в точку , І напрямком струму в провіднику (рис. 1.5).
Згідно зі слів (1.4)
= o d .
Так як всі елементи розглянутого струму лежать в одній площині
(В площині креслення), то все d мають однаковий напрямок. Отже, модуль результуючої індукції В дорівнює інтегралу модулівdB :
B = o dB . (1.5)
Згідно зі слів (1.3)
dB = m 0 Idl sina / 4p r2
висловимо и через . З малюнка 1.4 видно, що
; .
Підставами ці вирази у формулу (1.5) з урахуванням виразу (1.6) і інтегруємо по від до і остаточно отримаємо
- (1.7)
Для нескінченно довгого дроту = 0, . отже:
- (1.8)
Приклад 2.
нехай — Радіус контуру;
- Відстань від центру контуру до точки, в якій визначається ;
- Струм в контурі (рис.
1.6).
Виділимо довільний елемент струму . Розкладемо створювану цим елементом індукцію d на дві складові: , Паралельну осі контуру, і , Перпендикулярну до неї. складова компенсується складової , Створюваної діаметрально протилежним елементом .
| малюнок 1.6 |
результуюча індукція направлена ??уздовж осі контуру. модуль B дорівнює сумі модулів всіх dB :
Як видно з рис. 1.6,
- (1.9)
Згідно із законом Біо — Савара — Лапласа:
(кут ? між Idl и r — Прямий).
Підставивши цей вираз у формулу (1.9) і проинтегрировав його по від 0 до 2?r 0 , отримаємо
Після взяття інтеграла з урахуванням того, що , Маємо:
- (1.10)
У центрі контура h = 0 і індукція буде
- (1.11)
1.3. Циркуляція вектора магнітної індукції.
Вихровий характер магнітного поля
Якщо кожній точці Р з координатами x, y, z зіставляється векторна величина = ( x, y, z ), Говорять, що задано векторне поле . Виберемо в векторному полі довільний замкнутий контур L . інтеграл виду , Взятий з цього контуру, називається циркуляцією вектора .
Знайдемо циркуляцію вектора магнітної індукції Розглянемо магнітне поле стаціонарного струму провідності I , Поточного в прямому проводі нескінченної довжини. Контур обходу (контур інтегрування) L виберемо в площині, перпендикулярній до току. Напрямки струму і обходу показані на малюнку 1.7.
Скалярний добуток вектора на елементарне переміщення d буде
= Bdlcosa = BdlB ,
| малюнок 1.7 |
де
—
проекція вектора
d
на напрямок, що збігається з вектором . З малюнка видно, що , де
r
- Модуль радіуса-вектора, проведеного від струму до ;
- Кут повороту цього вектора при переміщенні на .
Згідно зі слів (1.11) . тоді
- (1.12)
циркуляцію вектора знайдемо, проинтегрировав вираз (1.12) по куту від 0 до 2p (при обході всіх елементів контуру L радіус-вектор r повернеться на кут 2p):
- (1.13)
Отримана формула (1.13) справедлива не тільки для плоского контуру, що охоплює прямий струм, але і для будь-якого просторового (не плоскі) контуру, що охоплює будь-який постійний (і не обов’язково лінійний) струм.
| малюнок 1.8 |
| малюнок 1.9 |
Якщо контур обходу не охоплює струм (рис. 1.8), то циркуляція магнітної індукції дорівнює нулю. Дійсно, в цьому випадку радіус-вектор повертається спочатку в одному напрямку, а потім в іншому. Кут повороту цього вектора проти годинникової стрілки буде позитивним (+ ), Кут повороту за годинниковою стрілкою — від’ємним (- ) (За абсолютною величиною ці кути рівні).
Повний кут повороту, відповідний обходу по всьому замкнутому контуру, дорівнює нулю. Струм і циркуляція в вираженні (1.13) — величини алгебраїчні. Струм вважається позитивним, якщо його напрямок пов’язаний з напрямком обходу по контуру L правилом правого гвинта; ток протилежного напрямку вважається негативним (рис. 1.9).
Якщо контур обходу охоплює nтоков, то
, (1.14)
де — Повний струм, що охоплюється контуром обходу L.
У разі довільного розподілу струмів у просторі повний струм виражається через щільність струму : , де — Будь-яка поверхня, яка спирається на контур , По якому береться циркуляція.
Таким чином, циркуляція вектора індукції магнітного поля, створеного в вакуумі постійним електричним струмом, дорівнює добутку магнітної постійної на алгебраїчну суму всіх макроскопічних струмів, які охоплюються контуром інтегрування.
теореми про циркуляцію вектора магнітної індукції
Поле, для якого циркуляція відмінна від нуля, називається вихровим або соленоїдом . З виразу (1.14) випливає, що магнітне поле на відміну від електростатичного є вихровим, воно не являетсяпотенціальним полем. Поля, подібні електростатичного, називаються безвихрових, вони відносяться до потенційних полях.
1.4. Застосування теореми про циркуляцію вектора індукції
магнітного поля до розрахунку магнітних полів
Теорема про циркуляцію вектора має в магнетизм таке ж значення, як і теорема Гаусса в електростатики: при наявності симетрії струмів ця теорема дозволяє знаходити індукцію магнітного поля без безпосереднього застосування закону Біо — Савара — Лапласа. Щоб осмислити методику розрахунку магнітного поля на основі теореми про циркуляцію , Розглянемо приклад.
Приклад. Магнітне поле нескінченно довгого соленоїда.
соленоїд — Провідник, згорнутий у вигляді циліндричної довгою спіралі. Розглянемо нескінченно довгий соленоїд. нехай — Струм в соленоїді,
n — Число витків, що припадають на одиницю довжини соленоїда.
Кожна лінія вектора , будучи замкнутою, проходить як всередині соленоїда, так і поза ним. Усередині соленоїда все лінії магнітної індукції проходять через кінцеву площа поперечного перерізу соленоїда. Поза соленоїда ці ж лінії проходять через перпендикулярну до соленоїду поверхню фактично нескінченно великої площі. Числове значення В одно або пропорційно числу ліній, пронизують одиничну площадку, перпендикулярну до ліній. Значить, індукція за межами соленоїда дуже мала в порівнянні з індукцією всередині соленоїда. З міркувань симетрії випливає, що поле всередині соленоїда однорідне і лінії В йдуть паралельно осі соленоїда. Як контуру інтегрування можна вибрати прямокутник, одна зі сторін якого паралельна лініям В всередині соленоїда (рис. 1.10).
| малюнок 1.10 |
циркуляція вектора В по контуру 1234
Bl . (1.15)
У вираженні (1.15) другий, третій і четвертий інтеграли дорівнюють нулю або через малість поля за межами соленоїда, або через взаємну перпендикулярність векторів и . Відмінним від нуля є лише перший інтеграл, рівний Bl .
Згідно зі слів (1.14) , де — Число витків, які охоплюються контуром інтегрування. Прирівнявши праві частини цих виразів, отримаємо
. (1.16)
Формулою (1.16) можна користуватися і для знаходження індукції в соленоїді кінцевої довжини, якщо довжина цього соленоїда значно більше діаметра.
Аналогічним способом можна розрахувати магнітне поле тороїда .
1.5. Потік вектора індукції магнітного поля.
теорема Гаусса
Елементарним потоком вектора магнітної індукції (магнітним потоком) через елементарну площадку dS називається скалярна фізична величина
(1.17)
де — Вектор, чисельно рівний і збігається за напрямком з напрямком одиничного нормального до поверхні вектора .
Магнітний потік — величина алгебраїчна. знак розмір залежить від вибору напрямку нормалі . напрямок вибирається довільно. Магнітний потік через поверхню S кінцевих розмірів і довільної форми буде
- (1.18)
Інтеграл (1.18) в ряді випадків обчислюється дуже просто. Зокрема, якщо магнітне поле однорідне ( ), А поверхня S плоска, то
. (1.19)
На відміну від електричних в природі немає магнітних зарядів, тому лінії магнітної індукції не мають ні початку, ні кінця — вони або замкнуті, або йдуть в нескінченність. Тому потік вектора через замкнуту поверхню має дорівнювати нулю. Дійсно, в разі замкнутої поверхні число вхідних ліній вектора індукції має дорівнювати числу виходять. Потік обумовлений входять лініями — негативний, а виходять — позитивний. З огляду на, що потік пропорційний кількості ліній індукції, приходимо до висновку про рівність нулю сумарного потоку. Отже, для будь-якого магнітного поля і довільної замкненої поверхні S
= (1.17)
потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю.
Порівняємо потік і циркуляцію електростатичного та магнітного полів у вакуумі. Згідно з відомими теорем про циркуляцію і потоці вектора напруженості електричного поля і формулами (1.14) і (1.17)
| (1.21) |
;
— Зіставлення формул (1.21) показує, що електростатичне і магнітне поля мають різний характер. Джерелами електростатичного поля є заряди q . Магнітне поле не має джерел. Циркуляція напруженості електростатичного поля дорівнює нулю, отже, електростатичне поле потенційно і може бути охарактеризоване потенціалом ? . Циркуляція вектора магнітної індукції не дорівнює нулю, тому магнітне полі не потенційно і йому не можна приписати скалярний потенціал ? .
2. ДІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ НА ТОК
І рухомих зарядів
| Закон Ампера. Фізичний сенс магнітної індукції
| Застосування закону Ампера до деяких задач | сила Лоренца | Рух заряджених частинок в магнітному полі | Намагнічення речовини. гіпотеза Ампера | Напруженість магнітного поля | Розрахунок магнітного поля в речовині | Магнітні моменти атомів і молекул | діамагнетизм | парамагнетизм |
