Теория автоматического управления и автоматизация сварочных процессов

метки: Процесс, Сварочный, Автоматизация, Звено, Функция, Система, Уравнение, Воздействие

Современное сварочное оборудование имеет высокую степень автоматизации. Автоматизация сварочных процессов обеспечивает повышение производительности труда, качества продукции и эффективности всего производства.

В сварочных процессах при современном производстве решаются комплексные задачи по автоматизации основных, заготовительных, транспортных, сварочных и отделочных операций. Однако в силу специфики производства решаются и отдельные операции автоматизации технологического процесса сварки. Это зависит от программы выпуска продукции, качества требуемых сварных соединений и других факторов производства.

В необходимости удовлетворить потребности производства с оптимизацией самого технологического процесса сварки по критериям экономического эффекта или экономии материальных и трудовых ресурсов, также по обеспечению заданного качества и по срокам изготовления продукции будет заключаться инженерная работа на производстве.

Какой тип сварочного оборудования необходимо выбрать для заданного типового технологического процесса изготовления продукции? На этот вопрос инженеры должны ответить, работая на заводах, в научно-исследовательских институтах.

Полностью ли автоматизировать производство или частично? В этом заключаются решения инженерных задач применительно к характеру работ по изготовлению продукции.

При полной автоматизации производственный процесс идет полностью без участия человека, за ним остаются лишь функции предварительной настройки оборудования, включения и наблюдения за его ходом. Примером полной (или почти полной) автоматизации может служить дуговая сварка с помощью аппарата АДС-1000, снабженного следящей системой. Здесь все движения в процессе сварки механизированы, а функции сварщика (регулирование режима дуги и коррекции положения электрода) выполняются автоматически.

Все автоматические устройства можно разделить на автоматы (или полуавтоматы) и автоматические регуляторы (или системы).

У автоматов или автоматического оборудования периодическая загрузка, смена инструмента, контроль, подналадка выполняются по ходу или автоматически. Останов работы необходим только для наладки. У полуавтомата или автоматизированного оборудования для повторения процесса, снятия изделия, установки заготовки, пуска требуется вмешательство человека.

Автоматические регуляторы или системы поддерживают неизменными или определенным образом изменяют физические параметры в техническом устройстве или технологическом процессе.

Автоматизация процесса документооборота организации ООО «Ксенокс»

... курсовой работы является проектирование информационной системы оформления заказов. Объектом исследования выбрана организация ООО «Ксенокс» Предметом исследования является процесс оформления заказов на предприятии ООО «Ксенокс» Для проектирования информационной системы ... на основе использования компьютерных сетей. Под управлением электронным документооборотом ... промышленного производства ... другим офисным ...

В последние годы применяются в производстве промышленные роботы-автоматы, характеризующиеся разнообразием выполняемых операций и значительной мобильностью.

Роботы — это универсальные автоматические манипуляторы с программным управлением для воспроизведения управляющих и двигательных функций человека, обладающие способностью к адаптации.

Автоматическое, автоматизированное и механизированное оборудование в производственных цехах объединяется в группы. Одна из них, поточная линия — это производственный участок станков или машин, специализированный на выполнении одной или нескольких однотипных операций технологического процесса.

Автоматическая линия состоит из группы станков-автоматов, объединенных общей системой управления и общими транспортными устройствами с единым темпом. На автоматизированном заводе, цехе или участке все технологические процессы основного производства выполняются с помощью автоматов, автоматических линий и других средств автоматизации.

Целью изучаемого курса «Теория автоматического управления и автоматизация сварочных процессов» является ознакомление будущего инженера по сварке с основами автоматики, особенностями, современным состоянием и перспективами автоматизации сварочных процессов.

Предметом дисциплины является теория автоматического регулирования в сварочных процессах.

Отсюда возникают и задачи курса:

• овладение основами автоматики и умение провести анализ и выбор известных систем регулирования или провести их моделирование применительно к конкретным условиям сварки;
• ознакомление с основными типами автоматизированного сварочного производства;
• умение управлять сварочными процессами с применением средств автоматизации и вычислительной техники.

Место дисциплины в подготовке по специальности 1205

Дисциплина «Автоматика и автоматизация сварочных процессов» основана на знании высшей математики, электротехники с основами электроники, источников питания для сварки, теории сварочных процессов, гидравлики, гидромашин, пневмопривода и теоретической механики.

В свою очередь, эта дисциплина является базовой для специализации «Оборудование и технология сварочного производства».

Основные направления развития сварочного производства и назначение его в автоматизации

Комплексную автоматизацию сварки, в общем случае, можно рассматривать как совокупность решения двух задач:

• I — ориентированного движения рабочего органа (электродов, дуги, луча) по заданной пространственной траектории, обеспечения требуемого цикла сварки и закона управления технологическими параметрами (скоростью сварки, силой тока, напряжением на электродах, скоростью подачи проволоки;

• II — механизации подготовительных сварочных и транспортных операций.

Задача I касается автоматизации собственно процесса сварки и составляет предмет изучения курса. Особенности этой задачи:

• необходимость изучения свойств технологического объекта регулирования процесса сварки с целью построения расчетных моделей;
• определение критериальных физических и геометрических параметров объекта и качества сварки, разработка способов измерения критериальных параметров в процессе сварки;
• исследование сварочного контура на моделях;
• разработка замкнутых систем автоматического регулирования различных критериальных параметров объекта.

В настоящее время на базе теоретических работ ученых Е.О.Патона, Б.Е.Патона, В.К.Лебедева, Э.А.Гладкова, Н.С.Львова создаются АСУ с многопараметрическим контролем сварочных установок, АСУ ТП сварки, а также информационные системы для сборочно-сварочного цеха как подсистемы будущих автоматизированных систем оперативного управления сборочно-сварочного производства.

Автоматизация сварочных процессов

... применения каких-либо автоматических механизмов для регулирования процесса сварки. Оригинальная идея ... управления скоростями подачи электродной проволоки и перемещения сварочной каретки и их стабилизации; для управления ... объекта или объекта регулирования. Режим работы, состояние объекта характеризуются совокупностью физических показателей (параметров) и определяются текущими внутренними процессами, ...

Сложность и специфика задач автоматизации сварочных процессов обусловлена необходимостью учитывать все 4 состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное и плазменное.

Мало встречается отраслей науки, в которых так широко применяются модели физических процессов, происходящих в сварочном контуре (электрических, электромагнитных, тепловых, механических, гидродинамических, плазменных).

Кроме этого, при математическом описании процессов сварки приходится сталкиваться с нелинейными математическими моделями. Ведь электрическая дуга является идеальным нелинейным элементом. Для решения нелинейных дифференциальных уравнений по моделям возникает необходимость применения цифровых вычислительных машин. Кроме этого, анализ точностных параметров математических моделей, описывающих физические процессы сварки, выявляет возможность применять вероятностные методы со статистическим моделированием.

1. Основы теории автоматического управления

1.1 Системы автоматического управления

1.1.1 Основные понятия теории автоматического управления

Основными понятиями, использующимися в теории автоматического управления и регулирования, являются: система автоматического управления (САУ), объект управления(ОУ), управляемая величина Y(t), возмущающее воздействие F(t), задающее воздействие X(t) и управляющее воздействие, автоматическое управляющее устройство (АУУ), алгоритм управления U(t), обратные связи (ОС) (главные, внутренние, компенсирующие) (рис.1.1.1).

Рис. 1.1.1. Схема взаимодействия объекта управления и АУУ в САУ

Системой автоматического управления называется совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего устройства, взаимодействующих между собой в соответствии с алгоритмом управления.

Объект управления представляет собой совокупность технических средств (машин, устройств, алгоритмов и др.), которая нуждается в оказании организованных воздействий извне для достижения поставленной цели управления в соответствии с алгоритмом управления.

Управляемый параметр (выходной параметр объекта) (Y(t)) физическая величина (координата) объекта, которая преднамеренно изменяется или сохраняется неизменной в процессе управления.

Алгоритмом функционирования называют совокупность правил Yтр(t), определяющих характер изменения выходного параметра объекта.

Различные алгоритмы функционирования определяют три основных класса САУ.

1. Системы стабилизации, у которых выходной параметр остается неизменным. Эти системы называют системами автоматического регулирования (САР):

Y(t) = Yтр Сonst .(1.1.1)

2. Системы программного управления, в которых выходной параметр полностью соответствует закону, определяемому программой:

Автоматическое регулирование и управление двигателей внутреннего сгорания

... В самом простом варианте системы автоматизации между собой взаимодействуют, по крайней мере, два элемента. Одним из них является сам двигатель как объект автоматического регулирования или управления, другим - устройство, обеспечивающее такую ...

Y(t) = Yтр(t).

3. Следящие системы, обеспечивающие соответствие выходного параметра изменениям входного воздействия по заранее неизвестному закону.

Отклонение выходного параметра управления Y(t) необходимо поддерживать равной требуемому значению в пределах заданной точности управления:

Y(t) = Yтр(t) ?Y(t).(1.1.2)

Отклонения выходной величины от требуемого значения возникают из-за наличия возмущающих воздействий F(t), поступающих в систему в виде нагрузки на объект, изменений напряжения питающей сети и др.

Возмущающие воздействия F(t) могут быть различного характера:

• координатными Fк(t), которые изменяют непосредственно координату Y(t);
• параметрическими Fп(t), при действии которых изменяются параметры объекта и АУУ (температура окружающей среды, старение комплектующих элементов и др.).

Алгоритм управления U(t) есть совокупность предписаний, определяющих характер воздействий на объект с целью осуществления его алгоритмов функционирования.

Автоматическое устройство управления (АУУ) вырабатывает и осуществляет воздействие на объект соответственно требуемому алгоритму управления U(t).

На вход АУУ подается задающая величина X3(t), закон которой определяется алгоритмом функционирования САУ, т.е.

Y(t) = f (X3(t)) .(1.1.3)

Теперь можно сформулировать главную задачу управления: необходимо обеспечить минимальную величину отклонения Y(t) выходного параметра объекта Y(t) от ее требуемого значения Yтр(t) , т.е. в первом приближении (рис.1.1.2):

Y(t) — Yтр(t) = ?Y(t) min.(1.1.4)

Однако в теории принятия решений отклонение ?Y(t) не всегда дает объективную оценку достаточности управления или регулирования. Поэтому используется вероятностная величина отклонения от требуемого значения по минимуму суммы квадратов отклонений

• (1.1.5)

Для экономических условий возникает необходимость оценки достаточности управления, исходя из критериев экономического эффекта, времени выполнения операций и дополнительных условий, что отражается в следующем выражении:

,(1.1.6)

где C1i, C2i, C3i — коэффициенты, учитывающие экономический эффект, затраты времени и дополнительные условия выполнения операций управления.

Отклонение ?Y(t) проявляется в системе в результате действий возмущений F(t), а также изменениях во времени величины X3(t).

При изменении X3(t) выходная величина Y(t) не сразу примет нужное значение Yтр(t), а спустя некоторое время после окончания переходного процесса. Переходной процесс может быть и колебательным, как показано на рис. 1.1.2.

Рис. 1.1.2. Переходной процесс регулирования

Выходной параметр Y(t) достигнет требуемого Yтр(t) за время переходного процесса tпп.

1.1.2 Структурная, функциональная и принципиальная схемы САУ

Изучение и математический анализ САУ облегчается, если ее представить в виде элементов, выявить физические взаимосвязи между элементами и отобразить их графически.

Структурная схема описывает типовые составные части САУ с отображением типовых звеньев, математическими правилами связей между ними и описываемых алгоритмами преобразования информации (рис.1.1.3).

Для синтеза САУ при проектировании устройств, а также для эксплуатации и ремонта применяют функциональные схемы САУ

Функциональной схемой называется схема, отражающая типовые функции, выполняемые в законченном виде отдельными элементами автоматической системы.

Управление системой теплоснабжения

... При эксплуатации систем воздушного теплоснабжения, ... системы теплоснабжения; описать основные положения управления работой системы тепло-снабжения. Объектом является система теплоснабжения, предметом – особенности управления ... отклонению”). Местное (пофасадное) регулирование осуществляют с применением того и другого способов. Возможен также способ изменения тепловой подачи в систему теплоснабжения ...

Связи между элементами обозначают линиями со стрелками, указывающими направление и обозначение сигналов. Внутри прямоугольников обычно указывают переходные функции графически или в виде математических выражений (рис.1.1.4).

Рис. 1.1.4. Функциональная схема САУ

Для изготовления и ремонта устройств САУ необходимо подробное изображение составных электрических, электронных, электромеханических и других элементов, входящих в САУ, на принципиальной схеме.

Принципиальной схемой САУ называют схему с детальным изображением электрических, электронных, электромеханических и других элементов, входящих в САУ, для разработки, изготовления и ремонта (рис.1.1.5).

В САР применяются следующие элементы: VTI-КТ819 — автоматическое устройство управления, выполненное на транзисторе КТ819; VDI-КС156А — устройство, вырабатывающее опорное напряжение, выполненное на маломощном

Рис. 1.1.5. Принципиальная схема САР (устройство стабилизации напряжения) параметрическом стабилизаторе напряжения и дополнительном резисторе R 1; VD2 — АЛ307 и R2 — устройство индикации напряжения; С1 — 47мкф x 15 — электрический фильтр.

1.1.3 Обратная связь, звено, передаточная функция

Система автоматического управления (регулирования) (САУ или САР)- это замкнутая автоматическая система, основанная на принципе обратной связи управлении объектом с использованием информации о результатах управления. Так как при управлении происходит постоянное сравнение выходного параметра Y(t) с заданным Yтр(t), в результате выявляется ошибка (1.1.4)

Y(t) — Yтр(t) = ?Y(t) .

Эта ошибка компенсируется процессом регулирования по обратной связи (рис.1.1.3)

?Y(t) = f (X3(t) — Xoc(t)),(1.1.7)

где X3(t) — заданный параметр, Xoc(t) — выходная величина ООС.

Из соотношений (1.4)…(1.7) видно, что обратная связь должна быть всегда отрицательной в автоматических системах регулирования.

Некоторые элементы автоматической системы в отдельных случаях могут отсутствовать, но главная обратная связь (ГОС) должна функционировать всегда, так как с ее помощью выявляется соответствие действительного состояния объекта регулирования заданному. Наличие главной обратной связи — основной признак САУ (САР).

Отрицательная обратная связь в САУ является главным звеном в управлении. Обратные связи подразделяются на главные, внутренние и компенсирующие.

Для математической формализации функционирования САУ на структурной и функциональной схемах выделяют элементы или звенья и математически описывают их работу с помощью передаточных функций.

Звенья или элементы САУ приведены на рис. 1.1.3…1.1.5.

На структурных схемах САУ элементы обозначены математическими моделями в виде передаточных функций:

• Kэу;
• Wтр(t);
• Wg(t);
• Kтг.

Передаточная функция представляет собой математическое описание функционирования звена САУ.

Математическое описание может быть в виде временных соотношений, дифференциальных уравнений или в параметрических изображениях по Лапласу.

1.1.4 Системы стабилизации, программного управления и следящие

Автоматизированная система управления технологическим процессом

... частями АСУТП могут быть отдельные системы автоматического управления (САУ) и автоматизированные устройства, связанные в единый комплекс. Как правило АСУТП имеет единую систему операторского управления технологическим процессом в виде одного или нескольких ...

Функционирование САУ задается определенной совокупностью предписаний (алгоритмом) Yтр(t), определяющих характер изменения выходной величины объекта

Y(t) = Yтр(t).

Различные алгоритмы функционирования определяют три основных класса САУ:

1. Системы стабилизации, у которых выходная величина остается неизменной. Эти системы наименее сложны и их относят к системам автоматического регулирования (САР):

Yтр(t) = Const.(1.1.8)

2. Системы программного управления, обеспечивающие изменение выходного объекта по заданной программе непрерывно

Yтр(t) = f (X1, X2, X3, ?Xi ,… Xn, t) (1.1.9)

или дискретно

• (1.1.10)

3. Следящие системы, в которых выходная величина полностью соответствует изменениям величины, действующей на входе системы по заранее неизвестному закону

Y(t) = Yтр(t).

Следящие системы широко используются в сварочных процессах с системой телеуправления и техническим зрением.

Эти системы применяются в тех случаях, когда необходимо управлять сварочным оборудованием и контролировать его работу на расстоянии в условиях ремонтно-монтажных работ в атомной энергетике.

1.1.5 Управление по отклонению, возмущению и комбинированное

Главный принцип управления состоит в том, чтобы уменьшить отклонение выходной величины Y(t) от требуемой Yтр(t), т.е.

Y(t) — Yтр(t) = ?Y(t) min.

При возмущении F(t) возникает отклонение ?YF(t).

Если компенсирующее воздействие ?Yu(t) будет равным по величине и обратным по знаку ?YF(t), то отклонения выходной величины не будет:

?YF(t) = — ?Yu(t) ?Y(t) = 0.(1.1.11)

Схема САУ с управлением по возмущению приведена на рис.1.1.6.

Рис.1.1.6. Функциональные схемы САУ по возмущению:

ИЭF — измерительный элемент возмущения

Принцип управления по возмущению (Понселе-Чиколева)

Для уменьшения отклонения ?YF(t), вызванного возмущением F(t), возмущение измеряется и преобразуется АУУ в управляющее воздействие U(t), которое вызывает компенсирующее отклонение ?Yu(t), равное по величине и противоположное по знаку отклонению ?YF(t).

Такие системы полностью компенсируют возмущение, они разомкнутые, в них нет проблем устойчивости, очень быстродействующие.

Если отклонение ?Y(t) возникает при изменении X3′(t) или по изменению выходной величины Y(t), то вырабатывается сигнал рассогласования (рис.1.1.7).

?(t) = X3(t) — Xoc(t).(1.1.12)

Принцип управления по отклонению (Ползунова-Уатта)

Для уменьшения отклонения ?Y(t) производится измерение разности между заданным и текущим значениями выходной величины и в зависимости от величины и знака этого отклонения осуществляется автоматическое воздействие на ее уменьшение.

Рис.1.1.7. Функциональная схема САУ по отклонению:

• ?(t) — сигнал рассогласования;

ИЭо — измерительный элемент обратной связи

Такие системы управляют выходной величиной независимо от причин отклонения ?Y(t) (нагрузка, температура, изменение параметров звеньев и элементов).

Однако присутствует обратная связь, эти системы замкнутые и возникает проблема устойчивости.

Современные САУ высокой точности строятся на основе сочетания управлений по возмущению, т.е. комбинированное управление (рис.1.1.8).

Анализ системы автоматического управления

... и основной задачей анализа систем автоматического управления. Наиболее распространенными являются ... звена достигается астатизм автоматической системы. В операторной форме уравнение интегрирующего звена: Передаточная функция интегрирующего звена: Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) интегрирующего звена и логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) интегрирующего звена: ...

Рис.1.1.8. Функциональная схема комбинированной САУ

1.1.6 Непрерывное и дискретное управление

В зависимости от способа формирования управляющих воздействий САУ разделяются на системы непрерывного и дискретного управления.

В непрерывном управлении любая информация для управления в любой момент времени, а также управляющие воздействия непрерывны во времени и по величине. Связи между элементами сохраняются всегда (рис.1.1.9,б).

Дискретное управление характеризуется наличием хотя бы одного звена при прерывистом изменении управляющих воздействий (рис.1.1.9,в-е).

Дискретное управление различается на импульсное и релейное. Импульсное управление классифицируется: амплитудно-импульсное; широтно-импульсное; частотно-импульсное и др.

В амплитудно-импульсном управлении алгоритм управления обеспечивается изменением амплитуды импульсов при неизменных остальных параметрах импульсной последовательности.

Рис.1.1.9. Способы управления в САУ:

• а и б — непрерывное;
• в — амплитудно-импульсное;
• г — широтно-импульсное;
• д — частотно-импульсное;
• е — релейное

В широтно-импулльсном управлении алгоритм управления обеспечивается изменением длительности импульсов при неизменных остальных параметрах импульсной последовательности.

В частотно-импульсном управлении алгоритм управления обеспечивается изменением частоты (периода) следования импульсов при неизменных остальных параметрах импульсной последовательности.

В сложных системах управления используется помехозащищенный метод управления с помощью кодо-фазо-манипуляции.

Дискретное управление широко применяется в цифровых управляющих машинах.

1.1.7 Задачи теории автоматического управления

Ознакомившись с понятиями автоматики и автоматизации сварочных процессов, а также с классификацией САУ, можно сформулировать задачи теории автоматического управления (регулирования):

1. Изучение динамических свойств и характеристик типовых элементов (звеньев) автоматических систем.

2. Анализ и синтез функциональных и структурных схем.

3. Моделирование динамических характеристик этих систем.

4. Определение ошибок и показателей точности.

5. Исследование устойчивости замкнутых систем.

6. Оценка качества процессов управления.

7. Определение чувствительности систем к изменению параметров и других факторов.

8. Оптимизация САУ (САР).

9. Разработка САПР (систем автоматизированного проектирования) САУ (САР) и ее звеньев.

1.2 Математическое описание САУ

1.2.1 Дифференциальные уравнения САУ

Динамическое состояние системы можно представить в виде совокупности дифференциальных уравнений, описывающих все физические процессы — механические, электрические, электромагнитные и др., происходящие в элементах (звеньях) системы.

Для исследования же системы удобнее иметь одно общее дифференциальное уравнение, составленное на основе уравнений каждого из входящих в нее отдельных звеньев путем исключения промежуточных переменных, при этом за входную и выходную переменные каждого из них необходимо принимать те, которые указаны в функциональной схеме исследуемой системы.

Анализ и синтез линейной системы автоматического управления

... схема замкнутой системы автоматического управления, параметры входящих в нее звеньев и требуемые показатели качества. Выполнение курсового проекта проводится в два этапа: исследование линейной системы автоматического регулирования; синтез корректирующего устройства, построение переходного процесса скорректированной системы и оценка ...

При составлении и решении уравнений динамики системы следует учитывать, что коэффициенты дифференциального уравнения САУ зависят от параметров звеньев (например, момента инерции, массы, емкости, индуктивности и т.п.).

Рассмотрим механическую систему при неравномерном движении.

Если скорость какого-либо тела постоянна, то расстояние будет равно

S(t) = S0 + Vt или Y(t) = Y0 + t,(1.2.1)

где Y(t) = S — расстояние, пройденное телом за время t;

• =V — скорость тела при движении;
• Y0 = S0 — расстояние пройденное телом до начала отсчета t=0.

Если же еще и скорость непостоянна, то в общем случае расстояние будет равно

,(1.2.2)

где — ускорение при движении.

При нескольких переменных в общем виде уравнение динамики звена или САУ имеет вид

,(1.2.3)

где , … — управляемая переменная и ее производные;

• , …- входные переменные и их производные;

• , …- возмущающее воздействие и его производная.

С учетом принципа суперпозиции для линейных систем при независимых друг от друга X1, X2 и F можно записать

Пример. Составим дифференциальное уравнение протекания тока через обмотку возбуждения двигателя (рис.1.2.2).

где L — индуктивность; i — ток; U — напряжение; R — сопротивление обмоток.

1.2.2 Линеаризация САУ

В общем случае САУ нелинейны, т.е. хотя бы в одном звене имеется нелинейная характеристика. Решение дифференциальных уравнений нелинейного вида типа (1.2.3) представляет большую трудность. Поэтому необходимо произвести линеаризацию нелинейных характеристик реальных звеньев.

Линеаризацией называют замену нелинейного уравнения Y=f(t) приближенно линейным YKX.

Основой линеаризации является выдвинутое П.А. Вышнеградским предложение, что в течение всего процесса управления имеют место достаточно малые отклонения всех переменных от их установившегося значения. Это дает возможность линеаризовать нелинейную функцию в окрестности точки установившегося равновесия. Такую линеаризацию осуществляют методом А.М. Ляпунова. Линеаризацию по Ляпунову проводят в окрестности установившегося состояния с последующим отбрасыванием нелинейного остатка разложения Х.

Разложим непрерывную нелинейную функцию f(X) в ряд Тейлора

Если ограничиться первым приближением линеаризации, то получим линейное уравнение относительно ?X

,(1.2.6)

где — угол наклона зависимости в точке X0 (рис.1.2.1).

Часто уравнения нужно записывать в приращениях:

f(X)=f0(X0)+f(?X)или

• (1.2.7)

Для того, чтобы привести уравнения к единому безразмерному виду, проводят нормирование и получают уравнения в относительных единицах. Нормирование осуществляют путем деления на базовое значение или номинальную величину . В этом случае эти величины можно сравнивать качественно и количественно.

1.2.3 Решение дифференциальных уравнений САУ

Линеаризация и приведение к типовой форме дают временное уравнение динамики системы в общем виде

,(1.2.8)

где a0, a1,…an-1, an — коэффициенты при производных выходного параметра Y;

Проектирование системы автоматического регулирования

... показатели качества исследуемой системы соответствуют показателям качества работоспособных систем в динамике. . Синтез системы автоматического регулирования, Последовательный синтез Ввод различных звеньев в прямую цепь регулирования отражается на статических и динамических характеристиках системы. При этом, ...

• b0,…bm-1, bm — коэффициенты при производных входного параметра.

Классический метод решения уравнения (1.2.8) заключается в получении аналитического выражения общего интеграла уравнения, который определяется суммой

Y(t) = Yвын + Yсв(t),(1.2.9)

где Y(t) — общее решение, дающее переходной процесс выходной величины в функции времени;

• Yвын — частное решение уравнения, определяющее вынужденное (установившееся) движение для производных равных нулю;
• Yсв(t) — решение левой части уравнения (1.2.8), приравненное нулю (характеризует свободное движение).

В частном случае, когда корни характеристического уравнения ?i вещественные для характеристического уравнения

,(1.2.10)

Получим

,(1.2.11)

где Ci — постоянные интегрирования, ?i — корни характеристического уравнения (1.2.10).

Если корни ?i мнимые, то в решении (1.2.11) будут и гармонические составляющие, т.е. будет происходить колебательный процесс.

1.2.4 Преобразование Лапласа

Для решения дифференциальных линейных уравнений удобно использовать операторный метод, при котором функции времени по определенным правилам заменяются соответствующими им операторными изображениями; по ним проводят решение, а затем переходят от изображений к самим значениям.

Операторным изображением какой-либо функции времени f(t), которую называют оригиналом, является функция F(P) комплексной переменной

P=C+j

связанная с ней преобразованием Лапласа:

;(1.2.12)

,(1.2.13)

где P — оператор Лапласа

Для получения изображения дифференциального уравнения в ТАУ чаще используют преобразование Карсона

,(1.2.14)

где К — знак преобразования Карсона, отличающийся от знака по Лапласу умножением его на оператор Р.

Соответствующие преобразования

(1.2.15)

вычислены и сведены в таблицы, которые следует использовать при анализе САР:

(1.2.16)

1.2.5 Передаточная функция звена

Структура системы, статические и динамические параметры входящих элементов полностью определяют ее свойства по отношению к входному воздействию. Если известны входные и выходные величины, может быть найдена и функция преобразования или передаточная функция.

Передаточной функцией системы или звена (элемента) называют отношение изображения Лапласа для выходной и входной величин при их начальных нулевых условиях и при отсутствии других воздействий. Она полностью определяет динамические свойства звена и системы и представляет собой комплексное выражение

W(P)=Y(P)/X(P).(1.2.17)

Передаточная функция легко может быть найдена, если известно дифференциальное уравнение.

Составим передаточную функцию для простейшего элемента САР-обмотки возбуждения генератора с коэффициентом самоиндукции L и активным сопротивлением R (рис.1.2.2)

Рис.1.2.2. Схема обмотки возбуждения двигателя

При подаче на обмотку скачка напряжения U сила тока в ней нарастает в соответствии с дифференциальным уравнением

• (1.2.18)

В операторной форме это уравнение будет выглядеть как

(TP+1)i=KU,(1.2.19)

где

Отсюда

• (1.2.20)

1.3 Характеристики систем автоматического регулирования

1.3.1 Типовые воздействия

Наиболее естественным состоянием системы регулирования является неустановившийся динамический режим, т.е. режим перехода от одного состояния к другому. Входные воздействия в реальных условиях работы системы могут быть самыми разнообразными.

Можно выделить три вида типовых воздействий на САР и ее элементы:

1. Гармонические колебания.

2. Единичный скачок.

3. Единичный импульс.

При действии на входе звена синусоидального воздействия

X(t) = XmSin?t Xmej?t(1.3.1)

на выходе линейной системы получаем также синусоидальные колебания

Y(t) = YmSin(?t+?) Ymej(?t+?),(1.3.2)

где Xm и Ym — амплитуды входных и выходных сигналов;

• ? = 2?f — круговая частота колебаний;
• f — частота колебаний;
• ? — фаза колебаний.

Единичным скачком называют входное воздействие

X(t) = A1(t).(1.3.3)

При нормировании получаем единичное воздействие (рис.1.3.1)

X1(t) = 1(t),(1.3.4)

где X1(t) =0 при t0 и X1(t) =1 при t>0.

Реакцию на единичное ступенчатое воздействие называют переходной функцией:

Y(t) = F1[1(t)].(1.3.5)

Рис.1.3.1. Типовые воздействия на САУ:

• а — единичный скачок; б — единичный импульс

Единичное импульсное (ударное) воздействие или дельта-функция является производной от единичной ступенчатой функции и представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности в момент t=0, т.е. (рис.1.3.1,б)

X2(t)=?(t)=1′(t),(1.3.6)

где X2(t) = 0 при t0; X2(t) = при t=0.

Основное свойство дельта-функции состоит в том, что она имеет единичную площадь

• (1.3.7)

Единичную импульсную функцию можно представить как сумму действующих на вход звена со смещением во времени на ? двух ступенчатых воздействий функций A1(t) и A1(t-?), у которых амплитуда увеличивается до одновременно с уменьшением ? до 0 при сохранении

1.3.2 Переходная характеристика

Переходной характеристикой h(t) называется временной сигнал на выходе звена (системы) при подаче на его вход сигнала в виде единичного скачка X1(t)=1(t) (рис.1.3.2).

По Лапласу (1.2.12)

• (1.3.10)

Рис.1.3.2. Переходная характеристика звена САУ

Так как Y(P)=W(P)X(P), то

• (1.3.11)

Найдем оригинал h(t) по Лапласу

,(1.3.12)

По Карсону (1.2.14) имеет в общем виде

Kf(t) = P?f(t).

Тогда

,(1.3.13)

а нахождение оригинала h(t) по Карсону

,(1.3.14)

где K-1 — знак преобразования из изображения по Карсону к оригиналу.

Весовая (импульсная) характеристика будет связана с переходной соотношением

• (1.3.15)

1.3.3 Частотные характеристики

Если на вход звена или линейной системы, состоящей из ряда последовательно соединенных звеньев, в разомкнутом состоянии подать гармоническое воздействие постоянной амплитуды Xm и частоты ?, то после затухания переходного процесса на выходе установится гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с амплитудой Ym и с отставанием по фазе на угол ? (рис.1.3.3).

Рис.1.3.3. Гармоническое воздействие на САУ

Частотные характеристики звена (системы) показывают, как изменяются амплитуда и фаза выходного сигнала при прохождении через САУ или звено.

К комплексной частотной характеристике, дающей представление о динамических свойствах звена, можно перейти от передаточной функции путем замены оператора Р в операторных полиномах ее числителя С(Р) и знаменателя В(Р) на мнимое число j (оператор Фурье):

,(1.3.16)

Для записи частотной функции используют обычно три формы: алгебраическую (1.3.16), показательную (1.3.17) и тригонометрическую.

Так как в комплексном выражении можно выделить вещественную и мнимую составляющие

Рис.1.3.4. Гармонические колебания

где ;

• При совмещении на одном графике вещественной частотной характеристики и мнимой частотной получаем амплитудно-фазовую характеристику АФХ (рис.1.3.5).

Рис.1.3.5. Частотные характеристики:

• а — амплитудно-фазовая частотная (АФЧХ);
• б — амплитудно-частотная (АЧХ);
• в — фазо-частотная (ФЧХ)

1.3.4 Логарифмические частотные характеристики

Так как при построении АФЧХ, АЧХ и ФЧХ частота и амплитуда изменяются в очень больших пределах, то с использованием процедуры логарифмирования можно значительно уменьшить изображения этих характеристик.

При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси ординат откладывают величину единицей измерения для которой является децибел.

Равномерной единицей на оси абсцисс является декада — любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза

Рис.1.3.6. Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики

1.4 Типовые звенья САУ

Современные САУ состоят из элементов (звеньев), разнообразных по конструкции, материалам и виду использованной энергии элементов, выполняющих различные функции.

Типы звеньев САУ различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей все их динамические свойства и характеристики.

Основные типы звеньев делятся на 3 группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.

1.4.1 Позиционные звенья

Позиционными звеньями называются такие, в передаточной функции которых

(1.4.1)

многочлены В(Р) и С(Р) имеют свободные члены (равные I), т.е. эти звенья обладают статической характеристикой Y=KX при P=0, определяющей их состояние равновесия (свойство позиционности).

1. Идеальное усилительное звено в статике и в динамике описывается алгебраическим уравнением, а передаточная функция его является коэффициентом усиления (передачи):

• Y(t)=KX(t);
• W(P)=K.(1.4.2)

Амплитудно-фазовая, амплитудно-частотная, фазо-частотная и логарифмическая амплитудно-частотные характеристики и представляют собой следующие выражения:

Переходная и весовая функции:

• h(t)=K (t>0), K(t)=K1(t).(1.4.4)

Примерами идеального звена могут быть большинство датчиков, делители напряжения, широкополосный электронный усилитель, механический редуктор.

2. Апериодическое (инерционное) звено описывается уравнением и передаточной функцией

• (1.4.5)

Частотные функции звена имеют вид (рис.1.4.2)

• (1.4.6)

Переходная функция, согласно решению уравнения звена, при X=1(t) и нулевых начальных условиях имеет вид

а весовая функция

Примерами апериодического звена являются электродвигатель, термопара и LR цепь.

Рис.1.4.2. Частотные характеристики апериодического звена

3. Апериодическое звено 2-го порядка описывается дифференциальным уравнением и передаточной функцией:

,(1.4.7)

т.е. апериодическое звено 2-го порядка эквивалентно последовательному включению двух простых апериодических звеньев, у которых K1K2=K.

Частотные свойства звена имеют вид (рис.1.4.3):

,(1.4.8)

, t>0.

Примерами могут служить: двойная LR цепочка, электромашинный усилитель, двигатель постоянного тока с электрической цепью статора и якоря.

Рис.1.4.3. Частотные характеристики апериодического звена 2-го порядка

4. Колебательное звено имеет математическое описание, близкое к описанию апериодического звена при T1=T2:

,(1.4.9)

где а — коэффициент демпфирования колебаний (затухания), 0<a<1 и чем больше а, тем быстрее затухают колебания.

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.4):

,(1.4.10)

Примерами колебательных звеньев могут быть: последовательное или параллельное соединение LCR цепочек (звеньев), гидродинамический усилитель, электрический контур резонансного стабилизатора.

Частный случай колебательного звена при a=0, когда h(t) и K(t) становятся незатухающими (периодическими), носит название консервативного звена.

Коэффициент а в математике, в радиотехнике и теории автоматического управления называют декрементом затухания.

В результате исследований доказано, что оптимальные переходные режимы достигаются при a 0,7. В этом случае перерегулирование составляет около 4,3% (критерий по ограничению задается 5%), время переходного процесса не превышает 2T, т.е.

tпп 4,7aT.

При этих значениях обеспечивается технический оптимум или оптимальный модуль.

При а=0,5 перерегулирование превышает 30%, длительность увеличивается в 2 раза. При a 1 длительность переходного процесса в 3-4 раза больше.

1.4.2 Дифференцирующие звенья

Дифференцирующие звенья реагируют на скорость изменения входного воздействия. Рассмотрим идеальное (безынерционное), реальное (инерционное и форсирующее звенья).

1. Идеальное (безынерционное) дифференцирующее звено описывается уравнением и передаточной функцией

, W(P)=KP.(1.4.11)

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.5):

Рис. 1.4.5. Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена

Примерами идеального дифференцирующего звена может служить тахогенератор и RC цепочка с усилителем.

2. Реальное (инерционное) дифференцирующее звено описывается уравнением и передается функцией

,(1.4.13)

т.е. является последовательным соединением двух простых звеньев — идеального дифференцирующего с передаточной функцией K1P и апериодического с передаточной функцией K2/(1+TР), где K1K2=K.

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.6):

• (1.4.14)

Рис. 1.4.6. Частотные характеристики реального (инерционного) дифференцирующего звена

3. Форсирующее звено является реальным дифференцирующим звеном, получаемым при параллельном соединении пропорционального и дифференцирующего звеньев, с уравнением и передаточной функцией:

, W(P)=K(TР+1)(1.4.15)

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.7):

h(t)=K(1+T?(t)), .(1.4.16)

Рис. 1.4.7. Частотные характеристики форсирующего звена

1.4.3 Интегрирующие звенья

В интегрирующих звеньях выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины. В отличие от позиционных звеньев интегрирующие звенья не приходят к установившемуся новому состоянию, а их выходная величина имеет тенденцию к неограниченному увеличению.

1. Идеальное интегрирующее звено характеризуется пропорциональностью между входной величиной и скоростью изменения выходной величины. Описывается уравнением, передаточной функцией и частотными характеристиками (рис.1.4.8):

,(1.4.17)

h(t)=Kt1(t), K(t)=K1(t).

2. Реальное (инерционное) интегрирующее звено описывается уравнением и передаточной функцией

• (1.4.18)

Рис. 1.4.8. Частотные характеристики ідеального интегрирующего звена

По существу оно является последовательным соединением двух простых звеньев — идеального интегрирующего и апериодического K2(1+TР)-1.

Частотные характеристики звена имеют вид (рис. 1.4.9):

• (1.4.19)

3. Изодромное звено описывается уравнением и передаточной функцией

,(1.4.20)

где T=K1/K2 — постоянная времени.

Рис. 1.4.9. Частотные характеристики реального интегрирующего звена

Из передаточной функции следует, что звено это состоит из последовательного соединения идеально интегрирующего K1/P и форсирующего K2(1+TP) звеньев K1K2=K.

Частотные характеристики имеют вид (рис.1.4.10):

h(t)=Kt+K1, K(t)=K+K1?(t).(1.4.21)

1.5 Передаточная функция САУ

Передаточной функцией системы называют отношение изображения Лапласа для выходной и входной величин при их начальных нулевых условиях и при отсутствии других воздействий. Она полностью определяет динамические свойства системы и представляет собой комплексное выражение (2.17)

1.5.1 Последовательное соединение звеньев (рис.1.5.1)

Рис.1.5.1. Последовательное соединение звеньев

Пусть заданы передаточные функции всех звеньев

(1.5.1)

Если перемножить все левые части и все правые части этих равенств, получим искомый результат

т.е. передаточная функция разомкнутой цепи последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев.

1.5.2 Параллельное соединение звеньев (рис.1.5.2,а)

Рис.1.5.2. Параллельное (а) и встречно-параллельное (б) соединение звеньев

Пусть заданы передаточные функции звеньев

Так как выходная величина цепи равна

то передаточная функция цепи получит вид

(1.5.3)

т.е. передаточная функция разомкнутой цепи из параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций всех звеньев.

1.5.3 Встречно-параллельное соединение звеньев (рис.1.5.2,б)

В таком соединении образуется замкнутый контур прохождения сигнала и создается эффект обратной связи.

Согласно схеме, обведенной пунктиром, имеем в изображениях по Лапласу

Y2(P)=Y1(P)-Yoc(P), Yoc(P)=Woc(P)Y3(P).(1.5.4)

Но далее

Y3(P)=W2(P)Y2(P)=W2(P)(Y1(P)-Woc(P)Y3(P)).(1.5.5)

Отсюда получаем

• (1.5.6)

Найдем передаточную функцию цепи с остальными звеньями путем перемножения выражения (1.5.6) с передаточными функциями последовательных звеньев:

• (1.5.7)

На основании выражений (1.5.1)…(1.5.7) можно получить передаточные функции любых соединений звеньев (рис.1.5.3).

Рис.1.5.3. Эквивалентные преобразования структурных схем САУ

1.5.4 Структурные преобразования САУ при переносе сумматора и воздействия параллельно контуру

Для удобства расчетов автоматических систем бывает необходимо преобразовывать структурную схему системы к какому-либо желаемому виду. Например, для построения логарифмических частотных характеристик наиболее удобно иметь цепь последовательно соединенных звеньев, тогда ЛЧХ системы просто строится суммированием ЛЧХ звеньев.

С основными правилами составления передаточных функций мы познакомились и закрепили на примере эквивалентных преобразований структурных схем САУ (рис.1.5.3):

• а) САУ с главной обратной связью; б) САУ по ошибке и в) САУ по возмущающему воздействию F(t) (без входного воздействия).

Рассмотрим разработанные Б.Н.Петровым методы преобразования структурных схем, позволяющие облегчить анализ САУ.

При переносе сумматора и воздействия параллельно контуру через узлы разветвления (точки съема) сигналов учитывается направление относительного перемещения.Если это направление совпадает с направлением сигнала (рис.1.5.4,а), то для того, чтобы не изменился сигнал в узле и в отходящих от него ветвях, необходимо компенсировать это изменение путем добавления в отходящей ветви сумматора С2, аналогичного сумматору С1.

Если направление переноса сумматора и воздействия встречны, то в узле эквивалентной структурной схемы необходимо добавление восстанавливающего сумматора С2 (рис.1.5.4,б).

Перенос сумматора и воздействия через звено по направлению сигнала (рис.1.5.4,в) осуществляется добавлением звена с такой же передаточной функцией.

При несовпадении направлений переноса сумматора и воздействия с сигналом преобразование осуществляется включением в воздействующие цепи звеньев с обратной передаточной функцией (рис.1.5.4,г).

Рис.1.5.4. Перенос сумматора и воздействия параллельно контуру

1.5.5 Построение логарифмических частотных характеристик САУ

Применение логарифмических частотных характеристик имеет ряд преимуществ. Логарифмический масштаб позволяет наглядно изобразить их ход в большом диапазоне изменения частот и уменьшает кривизну настолько, что становится возможным представлять характеристики с малой погрешностью в виде асимптотических ломаных линий. Характеристики звеньев системы имеют простую стандартную форму в виде отрезков прямой линии. Характеристика системы получается как сумма характеристик звеньев простым графическим сложением их наклона по участкам. По логарифмическим характеристикам легко оценить устойчивость и качество системы, наглядно видно, как система реагирует на любые изменения своей структуры и параметров.

И самое важное преимущество метода логарифмических частотных характеристик состоит в том, что он, по сравнению с другими методами, наиболее разработан. Большое число разработанных таблиц, номограмм, шаблонов по расчету позволяет назвать этот метод инженерным.

Насколько просто построить ЛЧХ убедимся на примере построения их для разомкнутой следящей системы автоматической ориентации электрода относительно свариваемого стыка, описываемой передаточной функцией

,(1.5.5)

где К=80; T1=0,12c; T2=0,05c.

Отсюда

• (1.5.6)

Порядок построения ЛАЧХ по виду и параметрам (рис.1.5.5).

1. Устанавливаем масштабы для осей ординат L и абсцисс lg.

Первая составляющая не зависит от частоты и проходит на уровне 20lgK = 201,92 = 38,4 дБ.

2. Определяем частоты всех постоянных времени

1=2/T1=52,4 рад/сек, 2=2/T2=125,8 рад/сек. Через отложенные на оси абсцисс частоты сопряжения проводятся вертикальные линии.

3. При =1 (lg =0) откладываем ординату 20lgК =38,4 дБ.

4. Через точку 20lgК, =1 проводим прямую с наклоном — 20 дБ/дек до пересечения с вертикалью наименьшей частоты сопряжения, т.е. до первой вертикали от оси ординат L. Это есть первая (низкочастотная) асимптота ЛАЧХ. Для случая 20lg = 0 она превращается в горизонтальную линию.

Рис.1.5.5. Построение логарифмических частотных характеристик САУ

5. Проведем вторую асимптоту от конца первой до пересечения с вертикалью второй по величине сопрягаемой частоты. Ее наклон меняется еще на -20 дБ/дек, т.е. составляет — 40 дБ/дек.

6. Строим еще одну асимптоту от конца второй с наклоном уже — 60 дБ/дек.

7. Если сомножитель числителя и знаменателя имеет исходную характеристику колебательного характера, то асимптотическая характеристика должна быть скорректирована в окрестности сопрягаемой частоты

д

ля оператора типа

T1T2P2+T2P+1.

Логарифмическая фазочастотная характеристика строится обычным методом при сложении по составляющим фаз звеньев графическим путем:

(1.5.7)

При сложных зависимостях кривые ЛАЧХ и ЛФЧХ легче рассчитать на персональной ЭВМ.

1.6 Устойчивость САУ

1.6.1 Понятие об устойчивости и виды устойчивости

Основным динамическим свойством САУ является ее устойчивость. Устойчивостью называется свойство системы возвращаться в исходное или новое установившееся состояние после всякого выхода из него в результате внешнего воздействия (рис.1.6.1).

Неустойчивые системы разрушаются, они неработоспособны. Поэтому актуальнейшей инженерной задачей является проверка САУ на устойчивость и обеспечение ее устойчивости.

Устойчивость системы необходимо исследовать в следующих случаях: при определении структуры САУ, при выборе параметров звеньев, при настройке и выборе допустимых пределов изменения параметров.

Устойчивость линейной системы не зависит от величины возмущения. Доказано Ляпуновым, что линейная динамическая системы, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчивой и при больших возмущениях. Поэтому для суждения об устойчивости САУ достаточно определить устойчивость в «целом» по передаточной функции системы. Так как передаточная функция представляется в виде (1.2.8) и (1.2.17):

,(1.6.1)

где К — коэффициент; a0, a1,… an — коэффициенты полинома выходного параметра; b0, b1,… bn — коэффициенты полинома входного воздействия;

• оператор дифференцирования.

Отсюда видно, что математическая модель САУ представляется в виде параметрического и дифференциального уравнений:

(a0Pn+ a1Pn-1+…+an-1P+an)Y(t)=(b0Pm+b1Pm-1+…+bm-1P+bm)X(t)

Или

Мы уже ознакомились с решением дифференциальных уравнений (1.2.8)…(1.2.11), т.е.

Y(t)=Yвын.+Yсв(t),

где Yвын. — частное решение уравнения, определяющее вынужденное движение для производных равных нулю;

• Yсв(t) — решение левой части уравнения, приравненное нулю (свободная составляющая).

Считают, что САУ устойчива, если свободная составляющая будет затухать, т.е.

• (1.6.4)

Свободная составляющая представляется в решении уравнения (1.6.3) следующим видом:

,(1.6.5)

Рис.1.6.1. Переходные процессы устойчивых (а,б,в) и неустойчивых (г,д) САУ

1.6.2 Корневой критерий устойчивости

Итак, условием затухания переходных процессов и устойчивости САУ является отрицательность вещественной части корней

Если корни рассмотреть на комплексной плоскости (рис.1.6.2), то необходимым и достаточным условием устойчивости будет расположение корней в левой полуплоскости. Это классический критерий устойчивости.

1.6.3 Алгебраический критерий устойчивости

Вычисление корней характеристического уравнения затруднено. Поэтому были выведены критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления корней.

Характеристическое уравнение (1.2.10) можно представить в виде сомножителей

Рис. 1.6.2. Коневой критерий устойчивости

a0>0; a1>0;…an>0.(1.6.12)

Для случая с комплексными корнями это условие выполняется только для уравнений 2-го порядка.

Для САУ, описываемой уравнением 1 и 2 порядка, алгебраическим критерием устойчивости является положительность всех коэффициентов уравнения ai>0. Для других САУ это условие является необходимым.

1.6.4 Критерий устойчивости Гурвица

Алгебраический критерий устойчивости работает только на САУ 1 и 2-го порядка.

Для САУ более высокого порядка применяется критерий устойчивости Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными главные определители Гурвица, составленные из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения.

Правило составления определителей Гурвица следующее:

1. По диагонали матрицы от левого верхнего угла до правого нижнего угла записываются все коэффициенты характеристического уравнения САУ от a1 до an.

2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль.

3. Из матрицы выбираются диагональные миноры и они являются определителями Гурвица.

Указанные определители Гурвица имеют вид:

• ..(1.6.14)

Пример. Рассмотрим устойчивость замкнутой системы (1.5.5) с передаточной функцией разомкнутой системы (рис.1.6.3).

Рис.1.6.3. Система дистанционного слежения:

• СД — сельсин-датчик;
• СП — сельсин-приемник;
• Р — редуктор;
• Д — двигатель;
• У — усилитель

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет третий порядок

1+W(P)=0, T1T2P3+(T1+T2)P2+P+K=a0P3+a1P2+a2P+a3=0.(1.6.15)

Определитель Гурвица будет иметь вид:

(1.6.16)

Или

• (1.6.17)

Для K=80, T1=0,12c, T2=0,05c условие (1.6.17) не выполняется — система неустойчива. Для данных T1 и T2 система устойчива при K=Kкр=28.

1.6.5 Критерий устойчивости Михайлова

Применение критерия устойчивости Гурвица для систем с характеристическим уравнением выше 4-го порядка затруднено.

Частотный критерий устойчивости А.М. Михайлова позволяет судить об устойчивости систем любого порядка по виду ее характеристического вектора (годографа) на комплексной плоскости. Годограф Михайлова получают подстановкой P=j в характеристический полином характеристического уравнения и построением кривой в координатах U(?) и jV(?) при изменении от 0 до

Определение критерия Михайлова. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы ее характеристический вектор при изменении частоты от 0 до повернулся против часовой стрелки, начиная с положительной вещественной оси и проходя последовательно такое количество квадрантов на координатной плоскости, которое равно порядку характеристического уравнения, т.е. угол поворота должен быть n?/2.

На рис.1.6.4,а показаны кривые устойчивых систем, а на рис.1.6.4,б — неустойчивых систем.

Рис.1.6.4. Кривые Михайлова:

• а — устойчивые системы; б — неустойчивые системы

Пример. Оценим устойчивость системы третьего порядка с передаточной функцией (1.5.5) и характеристическим уравнением (1.6.15)

Построим кривую Михайлова (рис.1.6.5).

рис.1.6.5. Кривые Михайлова системы третьего порядка

При V=0 получим 1-T1T22 =0

или

• (1.6.20)

При U=0 получим

К-(T1+T2)2=0(1.6.21)

• (1.6.22)

Отсюда

что аналогично и критерию Гурвица (1.6.17).

1.6.6 Критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи системы частотного управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

По критерию Михайлова изменение аргумента должно быть равно n/2. Но если цепь замкнуть, то на выходе и входе должны быть одинаковые аргументы. Это значит, что амплитудно-фазовая характеристика Ф(j) не должна охватывать начало координат (рис.1.6.6,а).

Если рассматривать разомкнутую систему преобразованием из замкнутой.