Переходная функция системы управления. Импульсная характеристика. Передаточная функция

Формулы указанные выше устанавливают принципиально важный факт — частотная характеристика и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Для систем непрерывного времени импульсная характеристика — это реакция (выходной сигнал) системы на входной сигнал в виде дельта – функции δ(t) при нулевых начальных условиях. Будем обозначать её как h(t) – отклик (выход) системы в момент t на входной сигнал в виде δ – функции. Нулевые начальные условия означает: выходной сигнал y(t) и все его производные в момент t = 0 имеют нулевые значения [6] – рис. 2.1.

Рисунок 2.1 – Импульсная характеристика импульсная характеристика для систем непрерывного времени

Экспериментальное определение импульсной характеристики заключается в определении отклика системы на достаточно узкий входной импульс x(t) единичной площади. При этом определяется приближенная импульсная характеристика.

Для нестационарных линейных систем импульсная характеристика зависит от момента воздействия дельта – функции τ ко входу системы, т.е. в этом случае она является функцией двух переменных, h(t, τ) — выход системы в момент t на δ – функцию , приложенную ко входу в момент τ.

Если линейная непрерывная система является стационарной (ЛНСС), или иначе инвариантной во времени (англ. linear time invariantsystem – LTI system), то её импульсная характеристика h(t) не зависит от сдвига во времени, т.е. является только функцией t – рис. 2.2.

Рисунок 2.2 – Импульсная характеристика для линейной непрерывной системы

Импульсной характеристикой линейной дискретной стационарной системы (ЛДСС) называется её реакция на входной сигнал в виде единичного импульса δ[n] при нулевых начальных условиях. Будем обозначать её через h[n] – рис. 2.3.

Рисунок 2.3 – Импульсная характеристика для дискретной стационарной системы

3 Передаточная функция

Специфика решаемых при анализе и синтеза систем автоматического управления (САУ) задач часто связана с наличием противоречивых требований к математическим моделям (ММ), применяемые при исследовании САУ. Поэтому возникает необходимость в использовании различных форм записи передаточных функций (ПФ).

Как известно, передаточная функция является одним из ключевых понятий теории управления. При управлении в динамических системах часто приходится осуществлять преобразования сигнала в сигнал другой физической природы. При этом переходная функция является дифференциальным уравнением, которым сложно оперировать при расчетах.

8 стр., 3596 слов

Измерительные сигналы

... в системе, для воздействия на которую этот сигнал предназначен. Характеристики и параметры импульсных сигналов рассмотрены в подразделе 1.4. По степени наличия априорной информации переменные измерительные сигналы ... не только периодические колебания, но и стационарные случайные процессы. В качестве модулируемых параметров случайных сигналов используются моменты случайных процессов. Так, например, ...

Применение преобразования Лапласа к переходной функции позволило упростить дифференциальные уравнения в алгебраические, а, следовательно, упростило анализ динамических особенностей объектов.

Математические модели САУ должны отражать физический смысл и причинно-следственную связь преобразования входных воздействий в выходные сигналы и одновременно быть удобным и действенным средством решения задач анализа и синтеза систем, эффективным средством как при проектировании САУ, так и при реализации управляющих воздействий в них.

Как показывает анализ, для записи передаточных функций в изображениях по Лапласу в теории автоматического управления чаще всего используются следующие три формы [7]:

  • полиномиальная;
  • факторизована;
  • стандартная.

Для сокращенной записи моделей сложных нелинейных систем используются передаточные функции в операторной форме. Таким образом, для исследования, анализа и синтеза САУ на основании выше изложенного предлагается систематизация передающих функций (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 — Формы передаточных функций

Передаточные функции, представленные в различных формах, отражающих механизм преобразования входного воздействия в исходную координату для одной и той же системы, а потому тождественно равны между собой.

Передаточная функция полиномиальной формы вытекает непосредственно из математической модели САУ в виде дифференциального уравнения (ДУ) общего вида. Она является дробнорациональной функцией, задается в виде отношение полиномов канонической формы записи [2-4]:

(3.1)

Эта форма передаточных функций эффективно используется при оценке устойчивости САУ, преобразовании к моделей дифференциальных уравнений общего выда при рассмотрении и «вход — состояние — выход» нормальной формы, что не требует представления моделей в виде дифференциальных уравнений сложных вычислений, при этом записывается уравнениями с действительными коэффициентами и при комплексных корнях характеристического уравнения.

Однако, ПФ в полиномиальной форме (1), описывая САУ в целом, невозможно обнаружить структуру преобразования воздействий в системе, где-реализуется исследования сложных топологий систем. Коэффициенты моделей в этой форме записи не имеют ясного физического смысла, а непосредственный аналитический переход к временным характеристикам является сложным и требует дополнительных вычислений.

Передаточная функция стандартной формы это представление передаточной функции в виде произведения статического коэффициента передачи К и соотношение полиномов со свободными членами, равными единице [5]:

(3.2)

Переход к передаточной функции стандартатной формы делает возможным получение модели, в которой параметры передаточной функции К и Т — коэффициенты, имеют понятный физический смысл. Статический коэффициент передачи К — это степень превращения выходного влияния в исходную переменную САУ в статическом режиме, а постоянная времени T характеризует быстродействие элементов или системы в целом имеют размерность времени [T] = c.

13 стр., 6489 слов

Доверенность: форма, содержание, виды

... в себя изучение оснований возникновения правоотношений представительства и саму доверенность в качестве правоотношения представительства; - определение сущности доверенности, обусловленное анализом понятия, основных признаков доверенности и её видов, формы доверенности, а передоверие и прекращение доверенности; - выявление прикладных ...

В то же время в такой форме записи передаточной функции сохраняется низкий уровень структурированности математической модели САУ на отдельные звенья и возникают трудности с аналитическим вычислением временных характеристик (нахождение обратного преобразование Лапласа).

Разложение полиномов числителя и знаменателя передаточной функции в соответствии с основной теоремы алгебры (теоремы Безу) на простые множители через нули и полюса:

(3.3)

(3.4)

позволяет перейти к ПФ факторизованной формы:

(3.5)

Передаточная функция факторизованой формы позволяет представить целостную систему совокупностью последовательно соединенных элементарных звеньев, имеющих простые передаточные функции (рис. 7), а ее разложения на простые дроби приводит к представлению структуры САУ в виде параллельного соединения простейших звеньев (рис. 8).

Рисунок 3.2 — Последовательная структура ПФ факторизованной формы.