По геометрии : Объем тел

Реферат

Прохорова Виктория

ПРОВЕРИЛА: Глушек Светлана

Сергеевна

Объемы многогранников

Понятие объема.

Подобно тому, как для фигур на плоскости вводится понятие площади, для тел в пространстве вводится понятие объема. Сначала рассмотрим только простые тела. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Для простых тел объем – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

Равные тела имеют равные объемы. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Если куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 см, то объем будет в кубических сантиметрах;

Если ребро куба равно 1 м, то объем будет в кубических метрах; и т. д.

ИЗ ИСТОРИИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЕМА ПИРАМИДЫ

Для частного случая четырехугольной пирамиды с двумя боковыми гранями, наклоненными под углом 45° к горизонтальному основанию, объем был вычислен еще древними . Формулу объема любой пирамиды и конуса была впервые найдена Демокритом из Абдеры. Это было окончательно установлено после открытия петербургским приват-доцентом П. Керамевсом в начале 20 века в Константинополе одного важнейшего сочинения Архимеда, теперь называемого сокращенно эфод (метод), которое было изучено известным датским ученым И. Гейбеогом. В этом сочинении, составленном в виде «Послании к Эрастофену», Архимед, обращаясь к последнему, пишет: «Зная, что ты являешься, как я говорю, ученым человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счел нужным написать тебе и в этой же самой книге изложить некоторый особый метод, при помощи которого ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теореме. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство, гораздо удобнее, чем производить изыскания, ни чего не зная.

7 стр., 3339 слов

Реферат плавление тел

... 1. Состояние чистого вещества (диаграмма) Рис. 2. Температура плавления кристаллического тела Рис. 3. Температура плавления щелочных металлов Плавление - переход вещества из кристаллического (твёрдого) состояния в ... Клапейрона — Клаузиуса уравнение). В большинстве случаев П. вещества сопровождается увеличением их объёма (обычно на несколько %). Если это имеет место, то возрастание давления приводит ...

Поэтому и относительно тех теорем о конусе и пирамиде, для которых Евдокс первый нашел доказательство, а именно, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида – третью часть призмы с тем же самым основанием и равной высотой, немалую долю я уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно упомянутых фигур, хотя и без доказательства. И нам довелось найти публикуемые теперь теоремы тем же самым методом, как и предыдущие; поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, для того, чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой, поскольку я убежден, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову».

Указание Архимеда о том, что Демокрит нашел объем пирамиды «без доказательства», следует понимать в смысле «без строгого доказательства». Демокрит действительно, вероятно, рассматривал пирамиду (конус) как сложенную из бесконечно тонких и подобных друг другу пластинок, позже названных неделимыми. Именно о таком методе, употреблявшимся и Архимедом и названном им особым или механическом, и говорится в приведенной цитате из «Эфода». Под строгим же геометрическим доказательством Архимед понимал метод исчерпывания с применением доказательства от противного, которым впервые пользовался Евдокс Книдский для вывода формулы объема пирамиды. Евдоксу и принадлежит учение о пирамидах, требующее, как и учение о круглых телах, применения метода исчерпывания.

Многие математики-педагоги, в том числе и , отстаивали и до сих пор отстаивают применение метода интегрирования. По существу этим методом вычисляли площади и объемы тел, еще Архимед, а в новое время Кеплер, Кавальери, Ферма, Валлис и многие другие. Однако здесь имеется в виду интегрирование в современном смысле и с применением современной символики.

ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ. ТЕОРЕМА ДЕНА – КАГАНА.

Непосредственного вычисления объемов многогранников и других тел у Евклида нет, есть лишь сравнение их. В одном лишь своем предложении, в котором доказывается, что треугольная призма разлагается на три равновеликих треугольника пирамиды, Евклид косвенно дает формулу для вычисления объема пирамиды.

Проблема нахождения объема пирамиды и круглых тел принципиально отличается от вопроса определения объема параллелепипедов. Для последних имеет место теорема, аналогичная той, которую доказал в 20-х годах прошлого столетия венгерский математик Фаркаш Бояй и австрийский математик П. Гервин: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

На втором Международном конгрессе математиков, состоявшимся в 1900 г. в Париже, Давид Гильберт обратил внимание ученых на 23 важнейшие и тогда еще не решенные задачи, в том числе и на следующую: можно ли распространить теорему Бояй – Гервина на пространство? Или: всякие ли два равновеликих многогранника равносоставлены?

3 стр., 1457 слов

Строительство пирамид в Древнем Египте

... объекты. Заключение Центральный объект древнеегипетской цивилизации, без сомнения, есть пирамида. Более того, можно считать строительство пирамид главным цивилизаторским действием нации в эпоху Древнего Царства. ... рождение великой пятерки богов-первенцев Таким образом, даже краткий обзор истории строительства пирамид в Египте, приводит к выводу о неслучайных совпадениях размеров, местоположения, ...

Отрицательный ответ на этот вопрос дали немецкий математик М. Ден в 1901 г. и наш геометр в 1903, по-разному доказавшие, что не любые два равновеликих многогранника можно разложить на одинаковое число соответственно равных между собой частей. В частности, доказательство равновеликости, применяемое при выводе объема параллелепипеда, для пирамиды неприменимо. Для доказательства того, что пирамида есть третья часть призмы той же высоты и с тем же основанием, необходимо неявно или явно использовать операцию перехода к пределу. Вот почему формулы объема пирамиды можно строго установить либо античным методом исчерпывания, либо современным методом пределов.

ФОРМУЛЫ: 1. Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

2. Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

3. Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

4. Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

5. Объем двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.