Теория погрешностей

метки: Погрешность, Теория, Основной, Положение, Оценка, Измерение, Вероятность, Функция

При проведении измерений необходимо различать размер физической величины (т.н. истинное значение) и результат измерения (измеренное значение).

два основных постулата

1) существует истинное значение измеряемой величины;

2) истинное значение отыскать невозможно.

Последний пессимистический постулат обусловлен воздействием на процесс измерения многих сопутствующих ему факторов (неточные действия оператора, изменение условий измерения, некорректная постановка измерительной задачи, несовершенство средства измерения и т.д.).

Отклонение результата измерения Х от истинного значения Q измеряемой величины называется погрешностью измерения ().

Погрешность является отрицательным показателем качества измерений. Положительным показателем последнего является точность . Значение точности характеризует близость к нулю погрешности результата измерений.

Действительное значение

Несмотря на неопределенность понятия «погрешность», удобство использования последней заключается в возможности разделения ее на составляющие, каждая из которых обусловлена определенным фактором. Это позволяет исследовать источники погрешности, ввиду чего появляется возможность ввести поправки в результат измерения или организовать измерительный эксперимент так, чтобы свести суммарную погрешность к допустимому уровню.

Классификация погрешностей возможна по различным признакам.

способу выражения

Абсолютная

• (1)

Отличительной особенностью абсолютной погрешности является то, что она выражена в единицах измеряемой величины.

Относительная

• (2)

Приведенная

• (3)

Значение равно, как правило, значению предела измерений СИТ.

характеру изменения

Систематические, Случайные

в зависимости от характера изменения

По месту (причине) возникновения, Методические, Инструментальные

Личные погрешности — погрешности оператора, например, погрешность, обусловленная явлением параллакса при считывании показаний со шкалы стрелочного прибора. Грубые личные погрешности, называемые промахами , появляются в результате ошибки при считывании показаний или описки при записи результатов измерений. Как и грубые погрешности, промахи выявляются при статистической обработке результатов измерений и исключаются из их числа.

Использование резистивного эффекта для измерения физических величин

... к описанию тензорезистивного эффекта. Пусть вещество характеризуется тензором удельного сопротивления с компонентами ik . Если полупроводник деформирован, то его удельное сопротивление изменилось, оно равно или . Величина -- или ... и равно 1/273 К-1. Для сплавов температурные коэффициенты имеют меньшее значение. Качественное отличие полупроводников от металлов проявляется прежде всего в зависимости ...

режиму работы средств измерения

Статическая, Динамическая

2. Вероятностное представление результатов и погрешностей измерений

Учитывая присутствие погрешности в результате измерений Х , последний можно представить в виде следующего выражения

, (4)

где — систематическая составляющая погрешности ;

• случайная составляющая погрешности .

является случайной величиной

На этом же рисунке изображены плотности распределения случайной погрешности и суммарной погрешности .

Случайная погрешность по определению является центрированной случайной величиной. Поэтому ее математическое ожидание . Наличие систематической погрешности приводит к смещению математического ожидания суммарной погрешности на величину

• Плотность распределения результата измерения смещена относительно суммарной погрешности на величину .

Таким образом, взаимное положение истинного значения ФВ и результата ее измерения Х на числовой оси не определено. Поэтому мы не можем по результату измерений определить , но можно попытаться оценить интервал, в который с заданной (доверительной) вероятностью попадает . Этот интервал также называется доверительным (рис. 3).

Термин «доверительный» выражает степень доверия к результату измерений.

Доверительным интервалом

На рис. 2.3 видно, что ширина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности Р _Д , вида распределения и его среднеквадратического отклонения, которое характеризует степень рассеяния результатов измерений вокруг математического ожидания М _Х .

неравенством Чебышева

Для вывода неравенства оценим вероятность того, что измеряемая величина не попадает в доверительный интервал

• (5)

По определению дисперсия Х равна

(6)

В формуле (2.6) положим подынтегральное выражение равным нулю на интервале ().

В этом случае будет иметь место неравенство

• (7)

Так как по начальному условию , то заменив в неравенстве (2.7) на мы усиливаем это неравенство, получая

• (8)

Правая часть неравенства (2.8) совпадает с правой частью выражения (2.5).

Учитывая это, можно записать , откуда

• (9)

В предельном случае

доверительный коэффициент

симметричных

, (10)

откуда

• (11)

Значения , полученные из неравенства Кампа-Мейделя для неизвестных симметричных законов распределения, приведены в табл. 1.

Таблица 1 — Зависимости доверительного коэффициента для различных законов распределения

Закон распределения	Доверительная вероятность Р Д
	0,9	0,95	0,99	0,9973
Неравенство Чебышева	1,63	4,5	10	19
Неравенство Кампа-Мейделя	1,1	3	6,7	12
Равновероятный	1,56	1,65	1,71
Симпсона	1,67	1,9	2,2
Нормальный	1,64	2	2,58	3
Лапласа	1,63	2,12	3,26	4,18
Арксинуса	1,4	1,4	1,41

Для известных законов распределения значения доверительного коэффициента можно найти из выражения

, (12)

подставляя вместо соответствующие аналитические выражения для интегральной функции распределения результатов или погрешностей измерения.

Равновероятное распределение

Плотность распределения

(13)

Интегральная функция распределения

(14)

Числовые характеристики распределения — математическое ожидание ; среднеквадратическое отклонение .

Доверительная вероятность

• (15)

Отсюда .

Треугольное распределение (Симпсона)

Плотность распределения

(16)

Интегральная функция распределения

(17)

Числовые характеристики:

Доверительная вероятность

(18)

Отсюда

• (19)

Нормальный закон (Гаусса)

Плотность распределения

• (20)

Интегральная функция распределения

• (21)

Доверительная вероятность

Вводим замену переменного , откуда и вместо в пределах интегрирования необходимо записать

т.е. ,

где — функция Лапласа.

Отсюда получаем

• (22)

Значение функции , обратной функции Лапласа, табулированы (табл. А1).

Двойное экспоненциальное распределение (Лапласа)

Плотность распределения

• (23)

Интегральная функция распределения

(24)

Среднеквадратическое отклонение

Доверительная вероятность

Отсюда

(25)

Распределение по закону арксинуса

Плотность распределения

(26)

Интегральная функция распределения

(27)

Доверительная вероятность

Отсюда

• (28)

Зависимости доверительных коэффициентов от доверительной вероятности Р _Д для различных законов распределения приведены на рис. 5. В таблице 2.1 даны значения для приведенных выше законов распределения для наиболее употребимых вероятностей 0,9; 0,95; 0,99; 0,9973.

3. Случайные погрешности, Случайной

способ обнаружения случайной погрешности

Оценивание

, (29)

где — доверительный коэффициент.

Как следует из выражения (29) для отыскания необходимо:

1) произвести оценку СКО , которую невозможно найти без отыскания оценки математического ожидания ;

2) определить закон распределения случайной погрешности для нахождения .

Рассмотрим решение этих задач.

Определение точечных оценок числовых характеристик эмпирических законов распределения случайной погрешности

В отличие от самих числовых характеристик их оценки являются случайными величинами, причем их значения и рассеянность зависят от числа экспериментальных данных.

Точечные оценки числовых характеристик должны удовлетворять 3-м требованиям: они должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной

По определению математического ожидания

Так как каждое значение х _і появляется один раз при общем объеме выборки n , то , откуда

При конечном n оценкой М _Х является среднее арифметическое

Поскольку появилось из М _Х при ограничении объема выборки, то является состоятельной оценкой математического ожидания.

По определению дисперсии

то есть состоятельной оценкой является так называемая выборочная дисперсия

• (30)

На практике неизвестно, поэтому при расчете математическое ожидание заменяют оценкой :

Это не влияет на состоятельность , поскольку .

Несмещенной

Проверим несмещенность среднего арифметического

Таким образом, среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания результатов многократных наблюдений при любом законе распределения.

Проверим несмещенность оценки дисперсии (30)

Так как

то

Таким образом, замена математического ожидания на среднее арифметическое в выражении (30) приводит к смещению оценки дисперсии.

Несмещенную оценку дисперсии получают, домножая на коэффициент , то есть несмещенной оценкой дисперсии является

• (31)

При коэффициент , поэтому оценка (31) оказывается также состоятельной, как и оценка (30).

Оценка среднеквадратического отклонения результата наблюдения определяется, как правило, по формуле

• (32)

Однако, ввиду нелинейности операции извлечения квадратного корня, такая оценка является смещенной для малого числа наблюдений n , поэтому для устранения этого смещения для применяют выражение

(33)

Общий вид этого коэффициента для нормального распределения представлен на рис. 2.6 и хорошо апроксимируется выражением

• (34)

Эффективной

максимального правдоподобия

• (35)

В соответствии с принципом максимального правдоподобия необходимо найти такие оценки параметров дифференциальной функции распределения p(x _i ) , при которых выражение (35) достигает наибольшего значения.

Для упрощения вычислений пользуются логарифмической функцией правдоподобия

• (36)

Условие максимума (36) получают в результате решения системы уравнений, образуемой при приравнивании нулю производных от (36) по тем параметрам, оценки которых мы хотим определить.

Эту задачу можно решить только для конкретного вида дифференциальной функции распределения.

Нормальное распределение

Плотность распределения

Отсюда логарифмическая функция правдоподобия имеет вид

• (37)

Отыщем наиболее эффективную оценку математического ожидания для нормального распределения

то есть .

Отсюда. Таким образом, среднее арифметическое является не только состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания, но и для нормального распределения еще и самой эффективной.

Дисперсия среднего арифметического, как уже было показано, равна

(38)

То есть дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии результата наблюдения. Для дисперсии

откуда и

то есть для нормального распределения полученная оценка дисперсии является эффективной.

Экспоненциальное распределение (Лапласа).

Плотность распределения

для которой

а ее график изображен на рис. 2.4, г.

Логарифмическая функция правдоподобия для двойного экспоненциального закона распределения имеет вид

Эффективная оценка математического ожидания определяется из выражения

Для упорядоченного ряда наблюдений

откуда .

То есть — значение, стоящее посредине ряда наблюдений. Оно называется медианой Me:

(39)

Эффективная оценка определяется из выражения

откуда

• (40)

Величина связана с соотношением

поэтому

• (41)

Равномерное распределение.

Плотность распределения

Так как в выражение для функции распределения не входит аргумент X , то обычная техника использования принципа максимального правдоподобия здесь неприемлема. Однако в этом случае экстремальная задача может быть решена непосредственно.

Функция правдоподобия

Параметры a и b отыскиваются из ряда наблюдений , причем

;

Очевидно, что решение экстремальной задачи будет достигаться в том случае, когда

т.е. для равномерного распределения эффективные оценки математического ожидания и дисперсии будут находиться через минимальные и максимальные значения ряда наблюдений. Поэтому эффективной оценкой математического ожидания является полуразмах

, (42)

а дисперсия

• (43)

Для других симметричных распределений

• 3.

Если т.е. распределение близко к экспоненциальному ( Е =3), то за оценку математического ожидания лучше взять медиану.

Если -, т.е. распределение близко к нормальному (), то за ее оценку лучше взять среднее арифметическое.

Если Е <-0,5, т.е. распределение близко к равномерному, то наиболее целесообразно оценкой математического ожидания считать полуразмах. Эффективные оценки дисперсии в этих случаях соответствуют эффективным оценкам дисперсии указанных распределений (табл2).

Таблица2 — Эффективные оценки математического ожидания и СК0 симметричных распределений

Е	< -0,5	-0,5…1	>1
			Смотри (39)

погрешность относительный приведенный случайный

Определение закона распределения случайной погрешности

Задача определения закона распределения случайной погрешности решается в два этапа:

1) построение гистограммы или кумулятивной кривой распределения случайной погрешности и высказывание гипотезы о виде распределения;

2) Проверка гипотезы о виде распределения с помощью критерия согласия.

Гистограмма и кумулятивная кривая

Этот диапазон можно разбить на L интервалов, длительностью

Через границы этих интервалов можно записать формулу для интегральной функции распределения в следующем виде

где

Если — количество наблюденных значений, попавших в k -й интервал, то

кумулятивной кривой.

В пределе, при и кумулятивная кривая стремится к интегральной функции распределения, сохраняя все ее свойства:

1);

2);

3) — возрастающая функция.

гистограммой:

Эта зависимость представлена на рис. 8 и представляет собой совокупность прямоугольников высотой . Гистограмма сохраняет все свойства дифференциального распределения, к которому стремится при и :

1);

2) площадь под кривой гистограммы равна 1 (условие нормировки)

При построении кумулятивных кривых и гистограмм для большей наглядности следует придерживаться следующих правил:

1) интервалы, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать одинаковыми;

2) число интервалов L устанавливается в соответствии с рекомендациями, приведенными в табл. 3;

Таблица 3 — К выбору числа интервалов гистограммы (кумулятивной кривой)

N	40-100	100-500	500-1000	1000-10000
L	7-9	8-12	10-16	12-22

3) масштаб гистограммы выбирается таким, чтобы высота гистограммы к ее основанию относились как 5:8.

После построения кумулятивной кривой и гистограммы можно высказать гипотезу о виде распределения.

критериев согласия

Критерий Колмогорова

В этом критерии в качестве меры расхождения теоретического и экспериментального распределения взято максимальное значение модуля разности D между экспериментальной F*(X) и теоретической F(X) интегральными функциями распределения

Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины x, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n , вероятность неравенства

Зависимость изображена на рис. 9 и в таблице А2.

Схема применения критерия Колмогорова заключается в следующем:

1) строится экспериментальная функция распределения F*(X) и предполагаемая F(X) теоретическая и определяется максимум D модуля разности между ними;

2) определяется величина ;

3) по таблице А2 находится вероятность того, что максимальное отклонение между F*(X) и F(X) не будет превышать D . Если мала, гипотезу отвергают.

Критерий Колмогорова очень прост и поэтому его охотно применяют на практике. Следует, однако, оговорить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение F(X) полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции F(X) , но и входящие в нее параметры. Обычно на практике известен только общий вид функции F(X) , а входящие в нее параметры определяются по данному статистическому материалу. В этом случае (при малом n ) критерий Колмогорова дает завышенные значения вероятности , поэтому в иногда можно принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными.

Критерий Пирсона (

В качестве меры расхождения экспериментальных данных с теоретическим дифференциальным законом распределения вероятностей в критерии Пирсона принимается величина

где — число результатов наблюдений, попавщих на j- й интервал гистограммы;

• действительное число результатов наблюдений, которые попали бы на j -й интервал, при полном соответствии эмпирического закона распределения гипотетическому.

Значение рассчитывается по формуле

где — значение гипотетической функции распределения в точке, соответствующей средине j -го интервала гистограммы;

n — общее число наблюдений;

• ширина интервала гистограммы.

Величина распределена по закону Пирсона (рис. 10).

Распределение зависит от параметра k , называемого числом «степеней свободы».

Число степеней свободы равно числу интервалов гистограммы L минус число независимых условий, наложенных на эмпирическое распределение. Для симметричных законов распределения такими условиями являются:

1) условие нормировки ;

2) требование равенства математического ожидания гипотетического распределения среднему арифметическому экспериментального распределения ;

3) требование равенства дисперсии гипотетического распределения оценке дисперсии экспериментального распределения

Поэтому k=L-3 . Для распределения Пирсона составлены соответствующие таблицы (см. таблицу А3).

Пользуясь этими таблицами можно найти для каждого ² и числа степеней свободы вероятность P ₀ того, что величина, распределенная по закону ² превзойдет это значение.

На практике вероятностью Р ₀ задаются и по таблицам определяют величину . Если , то гипотеза о виде закона распределения подтверждается, если , то отклоняется.

При проверке закона распределения по критерию Пирсона хорошие результаты получаются только если п > 40…50. Для n лежащем в диапазоне от 10…15 до 40…50 применяется так называемый составной критерий.

Составной критерий

нормальному

В первой части критерия

и проверяется выполнение условий , где и зависят от вероятности Р (рис. 2.11), с которой принимается решение и находятся по таблице А4. Если это условие выполняется, переходят ко второй части критерия.

Во второй части критерия

где — доверительный коэффициент для нормального распределения (для Р =0,9973 = 3);

• оценка среднеквадратического отклонения.

При числе наблюдений п< 20, m не должно быть больше 1, а при n >20, . Если и это условие выполняется, то гипотеза о нормальности распределения подтверждается. При невыполнении одного из условий гипотеза отклоняется.

Минимизация случайной погрешности

Уменьшить случайную погрешность можно, определяя оценку математического ожидания многократных наблюдений измеряемой величины Х . В этом случае за результат измерения, как правило, принимается среднее арифметическое результатов наблюдений

Поскольку определяется по конечному числу наблюдений, то является случайной величиной.

Дисперсия среднего арифметического результатов наблюдений в n раз меньше дисперсии однократного наблюдения

Поэтому, принимая за результат измерения , можно ожидать уменьшения случайной погрешности.

Границы погрешности среднего арифметического будут, очевидно, определяться выражением

• (47)

Для определения границ погрешности среднего арифметического необходимо знать его закон распределения.

Центральная предельная теорема теории вероятности

Если n < 20…30, то распределение уже нельзя считать нормальным. Как же определить для этого случая?

Доверительная вероятность для равна

Деля обе части неравенства на

получаем

. (48)

Обозначим , тогда

где — интегральная функция распределения величины Т .

Закон распределения Т зависит от закона распределения и числа наблюдений n.

Из теории вероятности известно, что если величина распределена по нормальному закону, то величина Т распределена по так называемому закону Стьюдента с k = (n -1) степенью свободы.

Плотность распределения Стьюдента имеет вид (рис. 2.12)

С ростом n распределения Стьюдента приближается к нормальному и при n >20…30 уже неотличимо от него (рис 13).

Таким образом, если известно, что результаты отдельных наблюдений распределены по нормальному закону, то при числе наблюдений n =2…20 при определении границ случайной погрешности доверительный коэффициент берется из таблиц распределения Стьюдента для (n -1) — й степени свободы и заданной доверительной вероятности . Зависимость коэффициента Стьюдента приведена на рис. 13 и в табл. А5.

При отсутствии таблиц с распределением Стьюдента, значение коэффициента для n =6…20 можно определить приближенно (с погрешностью до 20%) по формуле

где — доверительный коэффициент для нормального распределения.

Более точно (с погрешностью не более 5%) значение коэффициента для n > 4 и > 0,9 можно аппроксимировать выражением

Литература

[Электронный ресурс]//URL: https://drprom.ru/referat/teoriya-pogreshnostey/

1. Метрология; Форум — Москва, 2011. — 464 c.

2. Дегтярев А.А., Летягин В.А., Погалов А.И., Угольников С.В. Метрология; Академический Проект -, 2006. — 256 c.

3. Димов, Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация; СПб: Питер — Москва, 2004. — 432 c.

4. Кошевая И.П., Канке А.А. Метрология, стандартизация и сертификация; Форум, Инфра-М — Москва, 2009. — 416 c.

5. Кузнецов С.К. Древнерусская метрология; Типография Н.Н. Черемшанского — Москва, 2006. — 138 c.

6. Месяц Метрология; КАК проект — Москва, 2011. — 843 c.

7. Шишкин, И.Ф. Теоретическая метрология. В 2-х т.Т. 1. Общая теория измерений: Учебник для вузов / И.Ф. Шишкин. — СПб.: Питер, 2010. — 192 c.

8. Шишкин, И.Ф. Теоретическая метрология. Т. 2. Обеспечение единства измерений: Учебник для вузов / И.Ф. Шишкин. — СПб.: Питер, 2012. — 240 c.