Игры с природой метод платежной матрицы критерии вальда лапласа гурвица

Контрольная работа

а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, б=0,4;

  • б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;
  • в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;
  • г) Решить игру с природой по критерию Вальда.

Решение:

а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, б=0,4

1. Для матрицы выигрышей:

К(А1)=0,4•9+0,6•(-3)=1,8

К(А2)=0,4•9+0,6•(2)=4,8

К(А3)=0,4•8+0,6•(1)=3,8

К(А4)=0,4•3+0,6•(1)=1,8

Лучшая стратегия А2

2. Для матрицы потерь:

К(А1)=0,4(-3)+9=4,2

К(А2)=0,4•2+0,6•9=6,2

К(А3)=0,4•1+0,6•8=5,2

К(А4)=0,4•1+0,6•3=2,2

Лучшая стратегия А4.

б) Решить игру с природой по критерию Лапласа.

1) Если А — матрица выигрышей

2) Если А- матрица потерь

10

16

15

6

1) Если А — матрица выигрышей, то оптимальной является стратегия А2

2) Если А- матрица потерь, то оптимальной является стратегия А4

в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа.

Стратегия R — матрица риска. Элементы находятся по формуле

А-матрица выигрышей

А — матрица потерь

1 -3 2

9 8 9

1. Если А-матрица выигрышей

5

7

8

8

Оптимальной является 1 стратегия

2. Если А-матрица потерь

8

7

5

6

Оптимальной является 3 стратегия

г) Решить игру с природой по критерию Вальда (максиминный, минимаксный)

1)Если А — матрица выигрышей, то выбирается

  • 3

2

1

1

Оптимальной является стратегии А2.

1)Если А — матрица потерь, то выбирается

9

9

8

3

Оптимальной является стратегия А4

Задача 2

Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций.

Решение.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число в каждой строке обозначаем б 1 = -1, б2 = 0, б3 = 3. Выбираем максимальное из этих значении б = б3 = 3 — нижняя цена игры.

Аналогично для второго игрока. Найдем максимальное значения выигрыша по столбцам в 1 = 6, в2 = 8, в3 = 9 и минимальное из этих чисел в = = в1 = 6 верхняя цена игры. Игра не имеет седловой точки.

6 стр., 2711 слов

Критерии принятия решений

... считаться; реализуется лишь малое количество решений; 1.Критерии принятия решений Критерий принятия решений - это функция, выражающая предпочтения лица, принимающего решения (ЛПР), и определяющая правило, по которому ... . Соответствующее S-критерию правило выбора теперь интерпретируется так: каждый элемент матрицы решений ||e ij || вычитается из наибольшего результата max eij соответствующего ...

б = max (-1,0,3) = 3, в = min(6,8,9) = 6; б?в, 3?v?6.

v = 9/2 = 4.5; p* = (0,1/4, 3/4), q* = (1/2, 0,1/2).

Метод фиктивного розыгрыша Брауна-Робинсона.

Игроки многократно разыгрывают игру и пытаются выявить те стратегии, которые дают им больший накопительный выигрыш. Одно разыгрывание игры — партия. Число партий может быть сколько угодно большим. Данный процесс также называется итерационным, поскольку в каждой партии (итерации) игроки используют один и тот же алгоритм выбора наилучшей стратегии.

Оптимальные смешанные стратегии игроков определяются частотами выбора чистых стратегий, а в качестве цены игры применяют значение v, полученное на последнем шаге.

Для определенности считают, что первый ход делает игрок, А и выбирает свою осторожную стратегию.

Если несколько стратегий игрока дают один и тот же результат, то с т.з. его накопленного выигрыша (проигрыша) выбирается стратегия с меньшим номером.

Оптимальные стратегии игроков определяются частотами выбора их чистых стратегий. Приближенное значение цены игры — результатом v N на последней итерации.

Метод заключается в поочередном выборе каждой стороной наилучшей чистой стратегии против наблюдаемого эмпирического распределения чистых стратегий противника.

На первом шаге противники выбирают произвольные чистые стратегии i 1 и j1 соответственно. Пусть противниками на первых N шагах последовательно выбирались стратегии (i1 ,i2, i3, i4, ….iN ) и (j1 , j2, j3 ,…jN ) и xiN , yiN — количеством шагов, на которых первым и вторым игроками выбирались стратегии i1 и j1 соответственно. Очевидно,

Задача 3

Решить игру симплекс-методом

2 2 3 1

  • 1 8 6 3

5 7 4 6

3 2 4 0

Решение

Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число в каждой строке обозначим б 1 . Получаем: б1 =1, б2 =-1, б3 = 4, б4 =0. Выбираем максимальное из этих значений б = б3 = 4 — нижняя цена игры.

Аналогично для второго игрока. Найдем максимальное значение выигрыша по столбцам: в 1 =5, в2 =8, в3 =6, в4 =6 и минимальное из этих чисел в = в1 =5 — верхняя цена игры.

б = max(1, -1, 4, 0) = 4, в = min(5, 8, 6, 6) = 5 б?в, 4?v?5

Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий.

Для определения оптимальной стратегии игрока В имеем следующую задачу линейного программирование:

Добавлено 4 дополнительные переменные: s 5 ? 0, s6 ? 0, s7 ?0, s8 ? 0.

Шаг 0, выбран ключевой элемент (3,1)

Базис

БП

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

s5

1

2

2

3

1

1

0

0

0

s6

1

-1

8

6

3

0

1

0

0

s7

1

5

7

4

6

0

0

1

0

s8

1

3

2

4

0

0

0

0

1

ИС

0

1

-1

-1

-1

0

0

0

0

Шаг 1, выбран ключевой элемент (2,3)

Базис

БП

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

s5

3/5

0

-4/5

7/5

-7/5

1

0

-2/5

0

s6

6/5

0

47/5

34/5

21/5

0

1

1/5

0

s7

1/5

1

7/5

4/5

6/5

0

0

1/5

0

s8

2/5

0

-11/5

8/5

-18/5

0

0

-3/5

1

ИС

1/5

0

2/5

-1/5

1/5

0

0

1/5

0

Шаг 2

Базис

БП

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

s5

6/17

0

-93/34

0

-77/34

1

-7/34

-15/34

0

s6

3/17

0

47/34

1

21/34

0

5/34

1/34

0

s7

1/17

1

5/17

0

12/17

0

-2/17

3/17

0

s8

2/17

0

-75/17

0

-78/17

0

-4/17

-11/17

1

ИС

4/17

0

23/34

0

11/34

0

1/34

7/34

0

Получен оптимальный план S опт = (1/17, 0,3/17, 0), Zmax = 4/17.

Для определения оптимальной стратегии игрока А имеет двойственную задачу линейного программирования:

Найдем решение задачи L(T), не прибегая к симплекс-методу, используя соотношения двойственности.

Решение полученной задачи можно найти с помощью второй теоремы двойственности: дефицитный (избыточный) ресурс, полностью (не полностью) используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную (нулевую) оценку, и технология, применяемая с ненулевой (нулевой) интенсивностью, имеет нулевую (положительную) оценку. Т.е. для оптимальных решений

Задача 4

игра природа стратегия цена

Решить игру Р графически

Р = 1 -2 > Q = 3 0

4 6 6 8

7 9 9 11

Решение:

В исходной матрице Р присутствуют отрицательные элементы.

Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы число 2, получаем матрицу Q. Такая замена не изменит решения игры, по теореме фон Неймана изменится только ее цена.

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длинна которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х=0) соответствует стратегии В 1 , правый — стратегии В2 (х=1).

Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (р1 , р2 ), где р12 =1

2. На левой оси I-I (оси ординат) откладываются выигрыши стратегий В 1 . На линии II-II, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегий В2 .

Решение игры (3х2) проводим с позиции игрока А, придерживающегося минимаксной стратегии. Стратегия А 3 доминирует над стратегиями А1 и А2 (все элементы строки 3 больше или равны значениям 1-ой или 2-й строк), следовательно, исключаем стратегии А1 и А2 (1-ю и 2-ю строки матрицы).

Чистые стратегии А1 и А2 (см.рис.) не выгодны для игрока А, поскольку при любой стратегии игрока В они дают последнему больший выигрыш, чем чистая стратегия А3 . На основании принципа минимакса выделим прямую А3 А3 и на ней точку А3 с наименьшей ординатой на оси I-I, то есть при р1 *=1, р2 * =0 имеем оптимальное решение.

Решение игры проводим с позиции игрока В, придерживающегося максимальной стратегии. Средний выигрыш v 3 , соответствующий смешанной стратегии SB, определяется по формуле математического ожидания v3 = 9р1 + 11р2 и равен ординате точки М3 , которая лежит на отрезке А3 А3 и имеет абсциссу SB, (см.рис.).

На основании принципа максимина выделим прямую А3 А3 и на ней точку А3 с наименьшей ординатой на оси I-I, то есть при р1 *=1, р2 * =0 имеем оптимальное решение S*B = (1;0).

Чистая стратегия В 1 является оптимальной для игрока В, а чистая стратегия А3 — для игрока А. Цена игры для матрицы Q равна v* = 9*1+11*0 = б = в = 9, то есть имеется седловая точка. Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число 2, то вычтем это число из цены игры. Цена игры для матрицы Р равна v=v* — 2 = 9 — 2 = 7.

Задача 5

Найти верхнюю и нижнюю цену игр. Проверить игру на наличие седловой точки.