Основные виды углов

Реферат

— геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).

плоским углом

В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки ( вершины угла) и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию (которая называется линией, стягивающей данный плоский угол).

Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла.

Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.

Обозначение углов

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: б, в, г, и, ц и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ р, как правило, для этой цели не используется.

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ABC. В такой записи B — вершина, а A и C — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться.

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, (bc) — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника BAC, б, который надо было бы обозначить (cb).

Так, для рисунка справа записи г, ACB и (ba) означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы ( a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

14 стр., 6820 слов

Технологические устройства для измерения углов

... планкой. Для измерения угла транспортир прикладывают опорной планкой к одной из сторон данного угла так, чтобы вершина угла (точка А) совпадала с точкой О на транспортире. Величину угла САВ в градусах ... радиуса R в точке n1. Точку n1 соединяем с точкой А1 и получаем угол В1А1С1, величина которого равна заданному углу ВАС. 2. Уровень Умровень (ватерпамс) -- инструмент для проверки угла между ...

Угловая мера

Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными ), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

  • равным углам соответствует равная угловая мера;
  • меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
  • у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для параллельных прямых);
  • каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
  • угловая мера угла, сложенного из двух прилежащих углов, равна сумме угловых мер этих углов;
  • или, как вариант,

угловая (градусная) мера угла равна сумме угловых (градусных) мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение ABC а для величины меры измерения этого угла — обозначение ,

Угол измеряют:

  • в радианах — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r (системная),

Радианная мера используется в математическом анализе (например, как числовой аргумент тригонометрических функций и при определении числовых [табличных и графических] значений обратных аркфункций),

в планиметрии и механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, — колебаний, волн и т.д.).

градус, минута, секунда

Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор — универсал/теодолит).

В системе СИ основной единицей измерения угла является радиан.

3 стр., 1476 слов

Измерение углов на местности

... и расстояния их оснований от вершин прямоугольника. Словом, в положении Робинзона уменье пользоваться собственными руками для измерения углов (и ногами для измерения ... вы желаете при помощи этого бруска определить угловое расстояние между звездами S и S' (рисунок), то приставляете к глазу ... Артиллеристы облегчают себе расчет тем, что делят окружность не на 360 частей, как обычно, а на 6000 равных дуг, ...

Типы углов

В зависимости от величины углы называются следующим образом:

  • Нулевой угол (0°).

    Стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.

  • Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).

  • Прямой угол (90°).

    Стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.

  • Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).

  • Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).

  • Развёрнутый угол (180°).

    Стороны развёрнутого угла антипараллельны и образуют прямую.

  • Выпуклый угол (от 0° до 180° включительно).

  • Невыпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).

  • Полный угол (360°) — см. оборот

Плоские углы

плоский угол

Под свойствами плоских углов нередко понимают cоотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

угол плоский прилегающий смежный

Вертикальные и прилежащие углы

Вертикальные углы, Прилежащие углы

Частные случаи прилежащих углов:

  • Если прилежащие углы равны, то их общая сторона — биссектриса.

Дополнительные углы, Смежные углы, Сопряжённые углы

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые a и b . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Центральный и вписанный угол

Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

Центральный угол, Вписанный угол

Двугранный угол

Двугранный угол

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром .

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням. В этом легко убедиться, размещаяугольник в приоткрытой книге.

6 стр., 2802 слов

Датчики угла поворота

... увеличения чувствительности за счёт повышения градиента магнитной проницаемости измерительной цепи трансформаторного датчика угла поворота, и может быть использован для различных механизмов, где требуется ... прочность, сравнительно малые размеры и т.д. Данный реферат включает в себя обзор шести датчиков угла поворота. Цель этого реферата – приобретение умения пользоваться патентной литературой, делая ...

Список использованной литературы

[Электронный ресурс]//URL: https://drprom.ru/referat/edinitsyi-izmereniya-uglov/

Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1992. — 383 с.

Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 459?460. — 623 с.

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31.