Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты. По Ляпунову, математическое моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель), находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его в определенных отношениях и дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте. В других вариантах, математическая модель определяется как объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала, как «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям», как систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого, исследование которых средствами математики должно ответить на поставленные вопросы о свойствах некоторой совокупности свойств объекта реального мира, как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе. В случае сварочного производства математическое моделирование играет очень важную роль: оно позволяет «предугадывать» поведение материала в зоне сварных швов, с помощью него можно определить наличие или отсутствие остаточных напряжений в сварном соединении, а также более подробно рассмотреть процесс кристаллизации шва.
Метод конечных элементов (МКЭ)
Но диапазон его применения чрезвычайно широк: строительство и машиностроение, гидро- и аэродинамика, горное дело и новейшая техника, а также различные задачи математической физики – теплопроводности, фильтрации, распространения волн и т. д.
Метод конечных элементов впервые был применен в инженерной практике в начале 50-х гг. XX в. Первоначально он развивался по двум независимым один от другого направлениям – инженерному и математическому. На раннем этапе формулировки МКЭ основывались на принципах строительной механики, что ограничивало сферу его применения. И только когда были сформулированы основы метода в вариационной форме, стало возможным распространение его на многие другие задачи, в том числе сварочное производство. Быстрое развитие МКЭ шло параллельно с прогрессом современной компьютерной техники и ее применением в различных областях науки и инженерной практики.
Объекты гражданских прав
... Объекты гражданских прав: общие положения Объектом прав является объект, на который направлены права и обязанности юридических лиц, т.е. «вещи, в том числе деньги и ценные бумаги, иное имущество, в том числе имущественные права; работы и ... как имущественный комплекс включает в себя все виды имущества, предназначенные для его деятельности, в том числе земельные участки, здания, сооружения, ...
Для развития МКЭ особое значение имели вариационные принципы механики и математические методы, основанные на этих принципах. Дискретизацию задачи на основе вариационного метода Ритца впервые в 1943 г. применил Р. Курант. Лишь в 50-е гг. появились аналогичные работы Ж. Поли, Ж. Герша и др.
метод конечных элементов
Период последних десятилетий особенно характерен для развития и применения МКЭ в таких областях механики сплошных сред, как оптимальное проектирование, учет нелинейного поведения, динамика конструкций и т. п.
континуальной
конечных элементов
Рис. 1. Дискретизация.
В зависимости от типа конструкции и характера ее деформации КЭ могут иметь различную форму. Так, при расчете стержневых систем (фермы, балки, рамы) КЭ представляют собой участки стержней; для двумерных континуальных конструкций (пластины, плиты, оболочки) чаще всего применяют треугольные и прямоугольные (плоские или изогнутые) КЭ; а для трехмерных областей (толстые плиты, массивы) – КЭ в форме тетраэдра или параллелепипеда. В отличие от реального сооружения в дискретной модели конечные элементы связываются между собой только в отдельных точках ( узлах ) определенным конечным числом узловых параметров . [1]
координатными
При такой кусочно-непрерывной аппроксимации обеспечивается условие совместности лишь в узлах, а в остальных точках по границам КЭ это условие удовлетворяется в общем случае приближенно (в связи с этим различают КЭ разной степени совместности).
Виды МКЭ
По способу получения основных, т. е. разрешающих, уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный, взвешенных невязок и энергетического баланса.
Прямой метод, Вариационный метод
Метод невязок представляет собой наиболее общий подход к построению основных соотношений МКЭ. Этот метод целесообразно применять при решении задач, у которых трудно или невозможно сформулировать вариационное уравнение, т.е. функционал. Суть метода взвешенных невязок заключается во введении некоторой невязки – отклонении приближенного аппроксимативного решения от точного решения дифференциальных уравнений для данной задачи. Чтобы получить ”наилучшее” решение, необходимо минимизировать некоторый интеграл от невязок по расчетной области. Для повышения эффективности в подынтегральное выражение наряду с самой невязкой обычно вводится так называемая весовая функция , в этом случае метод называется методом взвешенных невязок . Выбор схемы минимизации и весовых функций определяет различные варианты метода невязок. Наиболее часто применяемые из них – это метод Галеркина , который приводит к тем же уравнениям, что и вариационный подход, а также метод наименьших квадратов .
Сварка строительных конструкций
... элементов. В нижнем положении при значительной толщине металла находит применение многослойная сварка в узкую разделку порошковой проволокой. В цеховых условиях находят применение новые конструкции сварочных ... балки в большепролетных конструкциях промышленных зданий, цехов и других сооружений, сварные двутавровые профили широко используют в строительстве и машиностроении, тавровые профили -- в ...
Метод энергетического баланса
Из приведенных видов МКЭ в анализе сварных соединений чаще всего применяется прямой метод, а также применимы вариационный метод и метод невязок. [1]
Математическое моделирование процессов сварки охватывает следующие области:
1. Прямое и обратное математическое моделирование и оптимизация сварочных процессов (разработка математических моделей, алгоритмов и компьютерных программ).
Решение данной задачи позволит свести к минимуму затрачиваемые ресурсы, например, электроэнергию, сварочные материалы, количество проходов, увеличить скорость сварки и т.д., при сохранении качества выпускаемого оборудования для сварки и тем самым создать более экономичную технологию. [6]
2. Теория сварочных деформаций и напряжений (разработка механических моделей и алгоритмов, решение задач теории термопластичности методом конечных элементов, методы уменьшения временных и остаточных деформаций и напряжений).
Любая сварочная операция, связанная с нагревом, неизбежно приводит к изменению формы конструкции и возникновению в ней временных и остаточных деформаций. От того как они распределены по всей конструкции будет зависеть и ее работоспособность, поэтому решение данных задач позволит ответить на вопрос: какие напряжения и деформации возникнут в конструкции при данной технологии сварки, в зависимости от режима, формы разделки, последовательности сварки и других ее параметров. [6]
