Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Начнем с естественного «изначального» вопроса: откуда появились и как накапливались тригонометрические знания людей? Задачи, в которых требуется измерять углы, появились так же давно и столь же настойчиво требовали своего решения, как и задачи, сводящиеся к измерению расстояний. Более того, эти две измерительные операции сосуществуют неразделимо. Роль измерения углов оказывается особенно значительной в тех случаях, когда непосредственное измерение расстояний оказывается затрудненным или невозможным вследствие удаленности или недоступности предметов. В свою очередь измерение углов может быть охарактеризовано измерением специальных отрезков прямой — тригонометрических линий. Тригонометрия начала свой путь практического и теоретического развития и проходит его вместе с геометрией.
Все древние цивилизации вносили свой вклад в дело накопления тригонометрических знаний. История математической науки дает тому немало убедительных примеров. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, возраст которой определяют вторым тысячелетием до нашей эры, решается задача: вычислить длину хорды (s) круга, исходя из величины (d) диаметра и высоты (а) сегмента, отсекаемого этой хордой. Описание задачи и правила ее решения таковы, что в них заметно использование подобия треугольников и теоремы Пифагора. В привычной нам символике этот способ может быть выражен формулами
Руководитель одной из самых ранних научных школ Древней Греции Фалес из Милета (ок. 625—547 до н. э.) упоминал в числе научных достижений древних египтян метод определения высоты предмета по длине отбрасываемой им тени. Этот метод послужил основой гномоники — учения о солнечных часах. Как широко известно, гномон — это прямой шест, вертикально установленный на горизонтальной площадке. Его тень в течение солнечного дня перемещается, «заметая» некоторую площадь. Середина линии, окаймляющей эту площадь, будучи соединена с основанием гномона, образует полуденную линию: север — юг. Отношение длины тени к длине шеста (или обратное отношение) определяет высоту солнца над горизонтом. Деление линии дает части дня — часы. Регулярные замеры позволяют отыскать пункт солнцестояния, найти длину солнечного года и решить другие задачи.
Измерение горизонтальных и вертикальных углов теодолитом
... конструктивных требований, предъявляемых к исправному прибору. Исправный прибор должен обеспечивать измерение горизонтальных и вертикальных углов с паспортной или необходимой точностью, допускаемой погрешностью. 1. История развития теодолита В ...
Элементы тригонометрии содержались во многих сочинениях древнегреческих математиков. В трактате Архимеда «Измерение круга», например, приведена лемма: «Если вписанный в дугу окружности отрезок прямой сломан на две неравные части и если из середины дуги опустить на него перпендикуляр, то он разделит сломанную линию пополам». Это, очевидно, дает возможность вычислять хорды суммы и разности двух заданных дуг. В «Началах» Евклида, где автор избегает рассуждений метрического (измерительного) характера, содержится, конечно, меньше тригонометрических элементов, хотя их не столь уж трудно обнаружить и интерпретировать. Например, во второй книге этого сочинения теоремы 12 и 13 по существу эквивалентны теореме косинусов.
Наибольшее внимание ученых тех давних времен привлекали тригонометрические соотношения на сферических поверхностях. Это было продиктовано нуждами астрономии и географии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о была геоцентристская. Согласно этой гипотезе земля есть шар, расположенный в центре небесной сферы, которая равномерно вращается вокруг своей оси. Светила расположены на этой сфере. Их движения и подвергаются изучению. При этом большое значение приобретают математические задачи о расположении точек и фигур на сферах и об их движениях (перемещениях).
Работы, в которых подобные задачи решаются, получили название сферики. В сферику включались теоремы об окружностях и сферах, графические приемы построения сферических треугольников, сферопея или объединение кинематических моделей, изображающих мир (армиллы), и др. В сферике, таким образом, сочетались элементы практической географии (определение места наблюдения, направления пути по положению небесных светил) и геометрии на сферах.
Плоская тригонометрия при таких условиях отнюдь не играла лишь второстепенную роль по сравнению с тригонометрией сферической. У нее была своя область приложений. Кроме того, она являлась частью практической так как в последней широко используются ортогональные проектирования. Фигуры, находящиеся или передвигающиеся на сфере, проектируются на плоскости, избранные для отсчетов: плоскости горизонта, меридиана или др. Тем самым многие задачи сводятся к плоским случаям. Измерительные операции при этом чаще всего прилагаются к хордам. Многократное применение подобных операций неизбежно порождало табулировать значения хорд, составлять таблицы их значений.
Одно из самых первых значительных достижений в составлении тригонометрических таблиц относится ко II в. н. э. Оно находится в знаменитом сочинении К. Птолемея «Математическое собрание в 13 книгах». Сочинение это более известно под названием «Алмагест», что является средневековой латинизацией арабского термина «Альмаджисти», который сам является переводом с греческого «Мегале», т. е. «Великая (книга)». В этом сочинении Птолемея собраны, систематизированы и обобщены все известные к тому времени результаты, полученные и в смежных с нею науках. Великим же оно было названо потому, что существовала «Малая астрономия» — сборник сочинений, знать содержание которых было необходимо для понимания того, что написано в «Алмагесте». В сборник входили, прежде всего, сочинения по сферике, а также те работы Архимеда, Евклида, Аристарха Самосского и других ученых, где рассматривались смежные математические задачи.
Свойства ортоцентра в теоремах и задачах
... теореме о произведении отрезков хорд AF ⋅ FM = BF ⋅ FC. LF - высота в прямоугольном треугольнике ∆BLC => LF = (BF ⋅ FC)1/2. Площадь треугольника ... T11 Задачи на применение 3 свойства Задача 8. Прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC (прямая ... стороны. 5 свойство. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противоположной ...
Как плоская, так и сферическая тригонометрии входят в первую из книг «Алмагеста». Метод составления тригонометрических таблиц состоял В основе всех находится круг заданного диаметра. На нем рассматривается единственная тригонометрическая характеристика: длина хорды, стягивающей дугу, соответствующую данному центральному углу. Задача состояла в составлении (вычислении) таблицы значений этой функции с наибольшей по возможности точностью и высокой частотой в последовательности значений аргумента. По существу таблицы хорд являются первичной формой таблицы синусов.
При вычислениях Птолемей пользуется 60-ричной системой счисления. Для удобства и определенности в вычислениях он делит окружность на 360 равных частей, диаметр — на 120 частей (соответственно радиус делится на 60 частей) с последующим более дробным делением градусов на минуты, секунды, терции и т. д. Для начала вычисляются длины хорд, являющихся сторонами правильных вписанных в окружность многоугольников с 3, 4, 5, 6, 10 сторонами.
Чтобы из этих, «опорных» значений получать значения других (а в конечном счете любых) хорд, у Птолемея выведены соотношения, эквивалентные
а) sin 2 a + cos2 a = 1 —формула для вычисления длин хорд дополнительных углов;
- б) sin (a — в) = sin a cos в — cos a sin в — формула для вычисления синуса разности двух углов как частный случай теоремы Птолемея.
К этим соотношениям он прибавляет способ нахождения хорд для половины заданного угла и соотношение, эквивалентное известному:
Этих результатов оказалось для Птолемея достаточно, чтобы составить таблицу значений хорд для углов от 0 до 180° с частотой полградуса, что соответствует таблице синусов углов первой четверти с частотой в четверть градуса. проверки, произведенные в десятичной системе, показали, что значения оказались точными до пятого десятичного знака включительно.
Таким образом, уже в самые первые века нашей эры (т. е. около двух тысяч лет тому назад) элементы плоской тригонометрии сложились в единую систему и заняли определенное место в совокупности математических знаний. Они вначале существовали в виде относительно элементарной части в системе неразделенных знаний, имевших своей главной целью решение задач практической По своему значению они уступали основам сферической тригонометрии, так как теоремы последней непосредственно примыкали к суждениям. Применения же плоской тригонометрии к измерениям недоступных расстояний и, следовательно, к решению треугольников и других фигур стимулировали составление таблиц тригонометрических функций и почти полностью от этого зависели. Также рано и естественно определились направления развития плоской тригонометрии. Они состояли во введении других тригонометрических характеристик, кроме птолемеевских хорд; в отыскании формул, выражающих связи между этими характеристиками; в разработке вычислительных приемов, имеющих целью облегчить составление таблиц тригонометрических функций.
По этим направлениям и происходило накопление тригонометрических знаний в последующие века. Процесс накопления замедлялся или ускорялся в зависимости от общего хода развития математических и вообще научных знаний. Подъем и ускорение происходили в эти времена главным образом в Индии (начиная с IV—VI вв.) и в государствах Ближнего и Среднего Востока (начиная с VIII—IX вв.).
Метатеоретический уровень научного знания и его структура
... требованиям социальной значимости, практической целесообразности. Важным элементом метатеоретического знания является методология науки, а также философские основания науки. Существуют различные по содержанию виды философских оснований науки: онтологические; гносеологические; социальные; аксиологические; антропологические. Как ...
Математики работавшие на территории Индостанского полуострова, восприняли греческую тригонометрию хорд и широко ее применяли. В их руках она получила многочисленные усовершенствования, среди которых
а) замена хорды полухордой и введение таким образом линии синусов;
- б) введение линии косинусов и синусов-версусов (т. е. обращенных синусов):
- sinvers a = R — cos a;
- в) выражение величины тригонометрических линий в частях окружности и подготовка тем самым радианного измерения углов;
- г) фактическое введение линий тангенсов и котангенсов при решении задач об определении недоступных расстояний и высот без явной их интерпретации как новых тригонометрических объектов;
- д) составление таблиц значений тригонометрических функций.
В науке арабоязычных и Среднего Востока накопление и совершенствование тригонометрических знаний происходило гораздо энергичнее. Оно достигало такого уровня, который фактически означал происходившее выделение тригонометрии в отдельную, обладающую возрастающей долей самостоятельности часть математики.
Общеизвестно, что становление науки, в том числе математики, в указанных государствах сопровождалось (а в ряде мест начиналось) систематическим изучением математических сочинений, написанных в Древней Греции и в других странах. Рукописи собирались во всех местностях, куда распространялось влияние арабских халифатов. Свозили эти сочинения в административные центры, где их изучали, переводили на арабский язык, устраняли ошибки, уточняли данные, снабжали тексты комментариями. Затем их дополняли результатами собственных исследований. Так в те времена складывались научные школы и научная литература, опирающаяся в интересующей нас области — тригонометрии — в основном на достижения индийской и древнегреческой математики
На этом пути рано, начиная, по-видимому, с VIII в., стали появляться арабские зиджи. Это были сборники и тригонометрических таблиц, сопровождаемых пояснениями и доказательствами соотношений между тригонометрическими функциями. Зиджи являлись как учебниками, так и справочниками при решении разнообразных задач: измерения времени, определения географических координат, расположение планет на небесной сфере, вычисления времени восхода и захода солнца, луны и их затмений. К нашему времени сохранилось свыше 100 зиджей, среди которых — знаменитый «Гургандский», составленный в Самарканде в научной школе Улугбека (1394—1449).
Зиджи более раннего времени были целиком ориентированы на составление возможно более точных тригонометрических таблиц. Из содержания зиджей видно, что не позднее IX в. были введены и табулированы вслед за синусом, косинусом и синусом-версусом новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Сравнительно приобрели самостоятельные трактовки.
С течением времени становилось все труднее включать быстро разрастающийся тригонометрический материал в рамки зиджа. Поэтому, начиная с X—XI вв. стали появляться отдельные (самостоятельные) трактаты о плоской и сферической тригонометрии. В сочинениях такого рода тригонометрические линии начали получать свою трактовку уже без обращения к птолемеевской системе построения хорд (так делал, например, аль-Фараби).
Microsoft Excel, его функции и возможности
... функций). Все они в соответствии с предназначением делятся на 11 групп (категорий): 1. финансовые функции; 2. функции даты и времени; 3. арифметические и тригонометрические (математические) функции; 4. статистические функции; 5. функции ... активизируется щелчком мышки по ней и выделяется рамкой. Эта рамка в Excel играет роль курсора. Операции ввода и редактирования данных всегда производятся только ...
В ряде других сочинений постепенно вводились основные соотношения между тригонометрическими функциями, которые снабжались доказательствами и по мере возможности систематизировались. Так, в частности, поступал аль-Баттани (ок. 858— 929) в работе «Усовершенствование Алмагеста». Сочинение это впоследствии оказало большое влияние и на развитие тригонометрии в Европе. Такой же характер имел и не меньшее влияние оказал «Канон Мас’уда» аль-Бируни (973—1048).
Вычислительные трудности арабскими математиками также были успешно преодолены. Об этом, например, говорит получение значения sin 1° с точностью до 17-го знака (в десятичной записи) в таблицах Каши, работавшего в Самарканде в научном центре, основанном Улугбеком.
Сосредоточимся теперь на вопросе о том, как тригонометрия преобразовалась в самостоятельную часть математики.
Как было сказано ранее, происходило накопление тригонометрических знаний и этот процесс обогащения привел к тому, что начиная примерно с XIII в. накопленный материал стал подвергаться систематизации, составляя отдельную, во многом самостоятельную, область математики — тригонометрию.
Убедительным доказательством того, что такое качественное изменение происходило, можно считать появление специальных сочинений, посвященных систематическому изложению тригонометрии. Впервые подобные сочинения появились, как было выше указано, среди арабских рукописей. Приведем еще один, пожалуй, наиболее характерный пример: это «Трактат о полном четырехстороннике» Насирэддина Туей (1201 — 1274).
Трактат этот состоит из пяти частей (книг).
Первые две книги содержат вспомогательный материал для тригонометрии: соответственно теорию составных отношений и доказательство теоремы Менелая для плоского четырехсторонника. В третьей книге введены понятия синуса и косинуса, правила решения плоских треугольников и доказательство теоремы синусов.
В четвертой и в пятой книгах излагаются основы сферической тригонометрии. В первой из них рассмотрены доказательства теоремы Менелая для полного сферического четырехсторонника. В другой собраны методы решения сферических треугольников, в том числе косоугольных. Для этого доказываются теоремы синусов и тангенсов. Такая структура тригонометрических сочинений сделалась в арабских сочинениях стандартной.
Более подробно эта часть истории тригонометрии освещена в очень хорошо написанной брошюре Г. П. Матвиевской «Становление плоской и сферической тригонометрии» (М.: Знание, 1982).
В ней показано, как из вспомогательного раздела астрономии тригонометрия превращалась в самостоятельную математическую дисциплину.
В Европе первое сочинение, в котором тригонометрия рассматривалась как самостоятельная математическая дисциплина, было написано в 1462—1464 гг. Его автором был ИоганнМюллер (1436—1476), более известный в истории науки как Региомонтан (по месту рождения).
Называлось это сочинение «Пять книг о треугольниках всех видов». Основное содержание его, по всей видимости, позаимствовано из арабских источников, главным образом из упомянутого выше сочинения Насирэддина Туей. Однако оно в значительной степени переработано, систематизировано, дополнено собственными результатами автора и мастерски изложено. Хотя автор при жизни не успел его издать и его напечатали лишь в 1533 г., но сочинение это было известно и ранее, сыграв большую роль в дальнейшем развитии тригонометрии.
Производственная функция
... возможным объемом продукции, производимой из этого набора факторов, характеризует производственную функцию. Производственная функция - технологическая зависимость между затратами ресурсов и выпуском ... переменные. постоянными переменными Определение взаимосвязи предельного продукта и производственной функции Расчет производственной функции фирмы, стремящийся к достижению равновесия между предельными ...
До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существование тригонометрии стало общепризнанным фактом. Вслед за Региомонтаном, тригонометрией много занимался Коперник, посвятивший ей две главы своего знаменитого капитального труда «Об обращениях небесных тел» (1543).
К таблице тангенсов Региомонтана Коперник добавил таблицу секансов, что позволило заменять деление на синус и косинус умножением в целях облегчения вычислений. Знаменитый (1546—1601) разработал много вычислительных приемов, облегчающих задачу решения треугольников как плоских, так и сферических. Таблицы тригонометрических функций, по форме и по составу близкие к ныне употребляемым, составил в 1551 г. Ретик, ученик Коперника. К концу XVI в. устойчивый характер приобрели названия всех тригонометрических функций.
Техника оперирования с тригонометрическими функциями достигла к этому времени высокого уровня, и математики в этом вопросе принципиальных трудностей. В сочинениях И. Кеплера, Й. Бюрги, Ф. Виета и других математиков (и нередко) сложные преобразования с тригонометрическими функциями, выведены многие формулы. Особенно примечательными для тематики, рассматриваемой в настоящей главе, представляются работы Виета.
Исходя из известных уже формул для синуса и косинуса двух углов, Виет получил выражения для этих же функций в случае кратных аргументов, а также многие формулы, в том числе рекуррентные. Как уже было рассказано в главе 4 настоящей книги, среди результатов Виета появились и такие, в которых устанавливались связи между тригонометрией и алгеброй. Существо этого открытия состояло в том, что Виету удалось свести задачу решения кубических уравнений в неприводимом случае к задаче о трисекции угла. Аналогию эту он сумел расширить, установив связи между задачами о делении угла на равные части и задачами выделения классов алгебраически разрешимых уравнений. В связи между алгебраическими и тригонометрическими результатами не прерывались.
Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после первых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригонометрическими функциями. Эта работа, ее результаты нашли свое отчетливое выражение в трудах Л. Эйлера. Теорию тригонометрических функций Эйлер изложил в 8-й главе 1-го тома своей книги «Введение в анализ бесконечных» (1748 г., на русском языке издана в 1961 г.).
Тем самым он завершил более или менее успешные попытки своих ближайших предшественников.
Эйлер ввел близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга».
Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что предшественники Эйлера неизменно связывали понимание тригонометрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом» (sinus totus).
Уравнения свертки. Обобщенные функции
... анализ существующих видов обобщенных функций; изучение пространства обобщенных функций; решение уравнений в обобщенных функциях. Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе рассматривается понятие обобщенных функций и их виды, пространство обобщенных функции, дифференциальные уравнения в ...
Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комплексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось на первых порах только правильностью и полезностью достигаемых при этом результатов.
Вскоре, в 1770 г., появилось и удержавшееся до наших дней название тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе «Аналитическая тригонометрия».
В то же примерно время (т. е. во второй половине XVIII в.) построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний развивалось и в несколько ином направлении. И. Г. Ламберт (1728—1777) в «Очерках об употреблении математики и ее приложений» (1770) провел обобщение тригонометрии на четырехугольники, создав таким образом тетрагонометрию. Еще через несколько лет, в 1774—1776 гг., в работах А. И. Лекселя (1741 —1784) было произведено дальнейшее обобщение и полигонометрия. Рассматривая n-угольник со сторонам а 1 , a2 , …, аn и углами ф1 , ф2 , …, фn между продолжениями сторон и предыдущими сторонами, Лексель получил соотношения:
Суммы в левых частях приведенных равенств эквивалентны суммам векторов, направленных по сторонам многоугольников. Из этих формул, справедливых и для невыпуклых, и для самопересекающихся многоугольников, в работах Лекселя выведены основные формулы тригонометрии и тетрагонометрии. Затем он распространил теорию на 5, 6, 7-угольники и решил ряд задач на исследование n-угольников, исходя из заданных диагоналей и углов этих диагоналей со сторонами.
Результаты Лекселя были существенно дополнены С. Люилье (1750—1840) в книге «Полигонометрия, или об измерении прямолинейных фигур» (1789).
Основную роль в исследованиях Люилье играло выражение для площади многоугольника, которую он вычислял так: откинув одну из n сторон, он составил все парные произведения остальных n—1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая полученные
произведений, нашел удвоенную площадь многоугольника. Исходя из этой формулы, Люилье получил все фор мулы полигонометрии, в том числе и формулы Лекселя. Свои теоремы Люилье применил к решению n-угольника: по п —1 сторонам и n — 2 углам; по всем углам и n —2 сторонам; по всем сторонам и n — 3 углам.
полиэдрометрию
Подведем итоги. Как видно из содержания, тригонометрия прошла следующие стадии развития:
-
Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей, необходимостью производить измерения углов.
-
Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники главным образом с целью определения расстояний до удаленных или недоступных объектов.
-
В интересах практической и географических исследований были получены аналогичные результаты для треугольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые
6 стр., 2802 словДатчики угла поворота
... градиента магнитной проницаемости измерительной цепи трансформаторного датчика угла поворота, и может быть использован ... до максимума и является синусоидальной функцией угла поворота ротора. Выходной сигнал сельсина ... контролируемого вала, например, в левую сторону схема работает следующим образом. При ... т.д. Данный реферат включает в себя обзор шести датчиков угла поворота. Цель этого реферата – ...
части единой науки.
-
Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости табулировать значения вводимых тригонометрических функций.
-
По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований, т. е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.
-
В начале XVI в. были установлены взаимные интерпретации между решениями определенного класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем самым положено начало установлению связей между алгеброй и
тригонометрией.
-
В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций. Почти одновременно тригонометрия получила широкие обобщения в геометрическом плане.
Таким образом, к XIX в. тригонометрия приобрела разнообразные интерпретации, не теряя своей теоретической целостности, а наращивая ее.
