Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет немало смысловых значений. Соответственно этому, существует значительное число различных определений данного понятия.
Под моделью будем понимать такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования заменяет собой объект-оригинал таким образом, что его непосредственное изучение дает новые сведения об объекте-оригинале.
Моделирование, в таком случае, представляет собой процесс построения, изучения и применения моделей. Главная особенность моделирования состоит в том, что это метод опосредованного познания при помощи объектов-заменителей. Модель выступает как инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом с целью изучения последнего, т.е. объект рассматривается как бы через «призму» его модельного представления. Процесс моделирования, таким образом, включает в себя три элемента: субъект исследования (исследователь), объект исследования, модель.
Все существующие модели могут быть условно разделены на два класса — модели материальные, т.е. объективно существующие, и модели абстрактные, существующие в сознании человека. Одним из подклассов абстрактных моделей являются модели математические.
Предметом нашего изучения в рамках курса будут математические модели, применяемые для анализа различных явления и процессов, имеющих экономическую природу.
Применение математических методов существенно расширяет возможности экономического анализа, позволяет сформулировать новые постановки экономических задач, повышает качество принимаемых управленческих решений.
Математические модели экономики, отражая с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем.
В современной научно-технической деятельности математические модели являются важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике планирования и управления — доминирующей формой.
Математические модели экономических процессов и явлений называют экономико-математическими моделями (ЭММ).
Экспериментальное исследование сварочных процессов
... КТ. 2. Исследование процессов взаимодействия между металлом, газом и шлаком Сварка плавлением - высокотемпературный процесс, сопровождающийся изменением ... от кислорода и азота воздуха, раскисление металла сварочной ванны, легирование ее нужными компонентами, стабилизация ... металла. В некоторых случаях конкретные условия работы конструкций допускают снижение отдельных показателей механических ...
На базе использования ЭММ реализуются прикладные программы, предназначенные для решения задач экономического анализа, планирования и управления (например, Microsoft Office Excel).
Математические модели являются важнейшим компонентом (наряду с базами данных, техническими средствами, человеко-машинным интерфейсом) так называемых систем поддержки решений.
Существует множество предприятий, которые используют для производства своей продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении нужно составлять оптимальный план использования и замены оборудования. Задачи по замене оборудования рассматриваются как многоэтапный процесс, который характерен для динамического программирования.
Многие предприятия сохраняют или заменяют оборудование по своей интуиции, не применяя методы динамического программирования. Применять эти методы целесообразно, так как это позволяет наиболее четко максимизировать прибыль или минимизировать затраты.
Целью данной работы является рассмотрение, изучение и применение на практике модели о замене оборудования.
Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЗАМЕНЫ ОБОРУДОВАНИЕ, .1 Характеристика модели замены оборудования
Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров, магнитол и т.п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда и ликвидная стоимость. Задача о замене оборудования заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.
Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.
Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область.
Область допустимых решений — это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.
Выделяется группа задач по виду критерия оптимальности:
Задачи линейного программирования. Целевая функция и функции в системе ограничений — линейные функции.
Системы программирования
... прикладных программ, которые проблемно ориентированы на решение вполне определенного класса задач. Системой программирования называется комплекс программ, предназначенный для автоматизации программирования задач на ЭВМ (2, 569). Система программирования освобождает проблемного пользователя или прикладного программиста ...
Задачи целочисленного линейного программирования. К предыдущим условиям добавляется условие необходимости получить ответ в виде целых чисел.
Задачи нелинейного программирования. Целевая функция и/или функции в системе ограничений — нелинейные функции.
Задачи квадратичного программирования. Множество допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник, а целевая функция является квадратичной.
Задачи выпуклого программирования. Множество допустимых решений и целевая функция — выпуклое множество.
Задачи стохастического программирования. Функции носят случайный характер.
Задачи эвристического программирования. Чрезмерно большое количество вариантов решения, приводящий к невозможности найти точный оптимум алгоритмическим путем.
Задачи динамического программирования. Критерий эффективности выражен неявно через уравнения, описывающие операции во времени.
Модель замены оборудование — это оптимизационная модель, которую мы можем отнести к динамическому программированию. В основе метода динамического программирования (ДП) лежит принцип последовательной оптимизации: решение исходной задачи оптимизации большой размерности заменяется решением последовательности задач оптимизации малой размерности. Основным условием применимости метода ДП является возможность разбиения процесса принятия решений на ряд однотипных шагов или этапов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах.
1.2 Принцип оптимальности Беллмана
Рассмотрим принцип оптимальности Беллмана.
Метод динамического программирования состоит в том, что оптимальное управление строится постепенно. На каждом шаге оптимизируется управление только этого шага. Вместе с тем на каждом шаге управление выбирается с учётом последствий, так как управление, оптимизирующее целевую функцию только для данного шага, может привести к неоптимальному эффекту всего процесса. Управление на каждом шаге должно быть оптимальным с точки зрения процесса в целом. Это основное правило динамического программирования, сформулированное Беллманом, называется принципом оптимальности.
Планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход. При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за определенную цену, которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования на новое так, чтобы суммарный доход за все годы эксплуатации был максимальным.
Переменной управления является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (3) оборудование (2.1):
- С, если оборудование сохраняется;
xk (t) =
З, если оборудование заменяется (2.1)
Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние.
На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функцию Беллмана (2.2).
(t)+Fk+1(t+1), (C)(t) =max(t)-P+r(0), (З), (2.2)
где r(t) — доход за этот год,+1(t + 1) — максимально возможный доход за оставшиеся годы, (t) — цена продажи оборудования,
Разработка автоматизированной системы управления технологическим процессом
... Для реализации неблокируемой работы всего комплекса используется многопоточное программирование в частности ... управлять всей системой. Рисунок 7.2 - Главное окно Для управления пользователями администратору ... задачи, из-за появления, обнаружения ошибок. Для чего целесообразно иметь методику самопроверки ПО и оборудования ... представлено на прилагаемом к дипломному проекте компакт-диске. Визуализируемый ...
Р — стоимость нового оборудования,(0) — прибыль от нового оборудования.
ГЛАВА 2. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, .1 Методическое обеспечение модели
В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием — управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.
Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.).
Под этапом обычно понимают хозяйственный год.
Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.
Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.
Задача динамического программирования должна удовлетворять двум условиям. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе — условием аддитивности целевой функции задачи.
Техническое обслуживание и ремонт газораспределительного механизма ...
... клапанов, что облегчает доступ к клапанам для их обслуживания, позволяет получить компактную камеру сгорания и обеспечить лучшее ... частота его меньше любого другого стука в двигателе. Заклинивание двигателя с обрывом одного или нескольких клапанов. Сопровождается ... положения оси вращения коромысел. Различают одно- и двухвальные ГРМ, в зависимости от количества распределительных валов в головке ...
2.2 Алгоритмическое обеспечение
В период эксплуатации и хранения оборудование подвергается физическому и моральному износу. Физический износ характеризуется утратой оборудованием своих первоначальных качеств. Это вызывает уменьшение точности работы оборудования, снижение скорости его работы. Физический износ оборудования является причиной увеличения доли бракованных изделий, увеличения времени простоя оборудования по техническим причинам, перерасхода основных и вспомогательных материалов, простоев в связи с авариями, что в конечном итоге ведет к росту себестоимости продукции. Моральный износ оборудования бывает двух форм. Первая форма морального износа вызывает уменьшение стоимости оборудования вследствие удешевления их воспроизводства. Вторая форма морального износа наступает в том случае, если изменяется конструкция и эксплуатационные показатели новых машин, когда машина технически устарела и заменяется более совершенной.
Предприятия должны постоянно проводить мероприятия, предупреждающие или устраняющие последствия износа оборудования путем своевременного проведения различного вида ремонтов и технического обслуживания оборудования.
Организация технического обслуживания и ремонта оборудования на предприятиях направлена на поддержание и восстановление работоспособности оборудования. Но в результате ремонта можно не только восстановить утерянные функции деталей и узлов машин и механизмов, но и модернизировать их с целью улучшения технических характеристик. Сущность ремонта заключается в обеспечении сохранности и качественном восстановлении эксплуатационных характеристик оборудования путем замены или восстановления изношенных деталей и регулировки механизмов.
Ремонт — это комплекс операций по восстановлению исправности, работоспособности либо ресурса оборудования, либо его составных частей.
Задачами организации ремонтных работ на предприятии являются:
- предупреждение преждевременного износа деталей и узлов;
- сохранение высокой точности, надежности и долговечности оборудования;
- сокращение простоев оборудования во время ремонтов и техобслуживания;
- снижение затрат на ремонт и техническое обслуживание.
Под системой ремонта понимается совокупность взаимосвязанных положений и норм, определяющих организацию и выполнение ремонтных работ на предприятии. Существует несколько систем организации ремонта оборудования. В основу каждой из них закладывается определенный изначальный принцип. Он касается, прежде всего, периодичности выполнения ремонтов и технического обслуживания. Наиболее широко распространены три системы.
Система ремонта оборудования «по отказам» предусматривает выполнение ремонтов в случае отказа работы оборудования. В этой системе достаточно сложно предусмотреть простои и затраты на ремонт. К числу недостатков этой системы можно отнести длительность простоя оборудования при ремонте и значительные затраты на ремонт.
Система послеосмотрового ремонта. При использовании этой системы решение о проведении ремонта принимается после осмотра оборудования.
Вышеперечисленные две системы называются еще системами ремонта по потребности.
Технология ремонта и обслуживание асинхронного двигателя с короткозамкнутым ...
... теме; изучить и описать устройство, принцип действия, возможные неисправности асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором; составить технологическую карту ремонта и обслуживания асинхронного двигателя; сделать экономические расчёты ремонтных работ; проанализировать экологическую обстановку на ...
Система планово-предупредительного ремонта (ППР).
При использовании этой системы ремонта заранее выполняется комплекс работ, предупреждающий большой износ оборудования, длительные простои, большие затраты на ремонт и аварии.
Под системой планово-предупредительного ремонта понимается совокупность организационных и технических мероприятий по изучению и контролю износа деталей и узлов машин, а также по уходу, надзору, обслуживанию и ремонту оборудования, проводимых на нормативной основе с целью постоянного поддержания оборудования в работоспособном состоянии и предупреждения неожиданных выходов его из строя. Такая система ремонта позволяет наилучшим образом сочетать работы по техническому обслуживанию и профилактическому ремонту с общим ходом производственного процесса на предприятии.
Сущность системы планово-предупредительного ремонта заключается в следующем:
- систематическая проверка состояния оборудования и проведение необходимых ремонтов для предупреждения аварии;
- необходимость изучения износа деталей и узлов и планирования ремонтов с целью предупреждения аварий;
- обязательная материальная и техническая подготовка планируемых ремонтов с целью повышения качества ремонтов и уменьшения простоев при ремонтах машин;
- создание надежных предпосылок для снижения трудоемкости ремонтов.
Планирование ремонтных работ осуществляется в виде годового плана-графика. В основу плана-графика положена структура ремонтного цикла по каждому виду оборудования и нормативы трудоемкости по видам планируемых ремонтов для каждого вида оборудования.
Годовой план-график ремонта составляется по месяцам планируемого года Ремонтные работы, предусмотренные планом-графиком, надо, по возможности, равномерно распределять по кварталам и месяцам года для однотипного оборудования.
Таким образом, классический подход предупредительного ремонта основан на календаре: через заданный интервал времени оборудование ремонтируется независимо от износа на данный момент. У каждого оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. На производстве оборудование, как правило, сложное. И у каждой детали сложного оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. Если срок ремонта сложного оборудования совпадает со сроком ремонта входящих в него деталей, то сокращаются затраты на ремонт.
Замена оборудования требуется в тот момент когда прибыль становится меньше, а затраты на обслуживание и ремонт резко увеличиваются. Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 — Блок схема алгоритма замены оборудования
ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАМЕНЫ ОБОРУДОВАНИЯ НА ПРЕДПРИЯТИИ
Задачу нахождения кратчайшего пути можно применить для оптимизации затрат на оборудование в течение определенного времени. В этом году предприятию предстоит решить, приобрести ли новый дорогой печатный станок с низкими первоначальными расходами на обслуживание или продолжать использовать приобретенный ранее печатный станок с высокими расходами на обслуживание.
Рисунок 3.1 — Исходные данные модели замены оборудования
Техническое обслуживание и ремонт системы смазки автомобиля ВАЗ
... 3 ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ И РЕМОНТ СИСТЕМЫ СМАЗКИ ВАЗ 2107, Проверка уровня масла. Проверка уровня масла в двигателе автомобиля ваз 2107 подготавливаем автомобиль ваз 2107 к выполнению операций; вынимаем из двигателя ваз 2107 указатель уровня ... фильтр полнопоточный, неразборный. До 1986 г. на двигатели ставился масляный фильтр 2101 (показан на рисунке), который ввиду больших размеров, чем фильтр ...
Данную задачу решаем в Microsoft Office Excel (рисунок 3.1).
Стоимостные параметры заданы в ячейках Н2:Н7. Предположим, что расходы составляют $ 1 600 000 на приобретение оборудования и $ 500 000 на его обслуживание в год приобретения; для каждого дополнительного года эксплуатации ежегодные затраты на обслуживание составляют $ 1 000000, $ 1 500 000 и $ 2 200 000. Для простоты предположим, что период планирования в модели составляет четыре года. Обозначим через с расходы на приобретение нового оборудования в начале года j (j = 1, 2, 3, 4) и обслуживание его до начала года j (j = 2, 3, 4, 5).
Если оборудование может работать только до начала года j, где j < 5, то в начале года j необходимо снова приобретать новое оборудование. Рассмотрим три возможных варианта поведения.
Приобретать новое оборудование в начале каждого года. Такая политика приведет к самым высоким расходам на приобретение и минимальным расходам на обслуживание. Общие расходы на приобретение и обслуживание в таком случае составят с12 + с23 + с34 + с45.
Приобрести новое оборудование только в начале первого года, а затем заниматься его ремонтом и обслуживанием в течение последующих лет. При такой политике суммарные расходы на приобретение будут минимальны, а расходы на обслуживание максимальны. Общие расходы на приобретение и обслуживание составят с15.
Новое оборудование приобретается в начале 1 и 4 годов. Суммарные расходы составят с14 + с45.
Из всех возможных вариантов предприятие хочет выбрать вариант с минимальными суммарными затратами. Чтобы решить эту задачу, необходимо найти кратчайший путь (в данном случае — путь с минимальными затратами) из узла 1 в узел 5 для сети, показанной на рисунке 3.2. Каждый узел на кратчайшем пути означает замену оборудования в соответствующем году, т.е. в этом году необходимо приобрести новое оборудование.
Рисунок 3.2 — Модель для принятия решений по замене оборудования
Составим таблицу, где будут видны удельные затраты по покупке нового оборудования и его дальнейшего обслуживания (рисунок 3.3).
Рисунок 3.3 — Нахождение удельных затрат по покупке нового оборудования и его дальнейшего обслуживание
оборудование замена экономический моделирование
В ячейках J3:N6 вычислены затраты на покупку и обслуживание печатного станка, если он приобретен в одном году и эксплуатируется до начала другого указанного года, т.е.
ячейка K3= H2+H4 (стоимость покупки + обслуживание со следующего года после покупки)
ячейка L3= K3+H5 (удельные затраты +обслуживание 3 года) и т.д.
Теперь после расчета удельных затрат по каждому году, мы можем выяснить, когда лучше покупать новое оборудование и каковы будут наши затраты (рисунок 3.4).
Рисунок 3.4 — Подготовительная таблица для расчета оптимальных закупок
Ячейки переменных решения с серым фоном в диапазоне C10:G14 соответствуют невозможным решениям с обратным ходом событий (например, приобретение станка в году 3 для использования в году 1).
Экономическое обоснование замены старого оборудования в цехе ...
... инвестиционные затраты, расходы на эксплуатацию оборудования в текущем периоде (включая затраты на ремонт и техническое обслуживание). В ... внедрения нового станка; оценить эффективность данного проекта. Дипломный проект состоит из введения, 2 глав, из ... Характеристика предприятия Компания зарегистрирована 27 ноября 1997 года регистратором Инспекция Министерства Российской Федерации по налогам ...
Начальный и конечный годы использования оборудования отмечены в строке 17 с помощью чисел 1 и -1. В ячейках C3:G7 содержится матрица связей между узлами, а в ячейках J10:N14 вычислены расходы для решений, записанных в ячейках C10:G14. Теперь при помощи надстройки «Поиск решения» мы выберем оптимальный вариант с минимальными затратами (рисунок 3.5).
Рисунок 3.5 — Надстройка «Поиск решений»
В данной надстройке, как видно на рис. 3.5. мы назначаем целевую ячейку, т.е. ячейку О15 (всего затрат на приобретение нового оборудования), которая должна иметь минимальное значение, изменяя ячейки С10:G14. Также мы устанавливаем некоторые ограничения:
Ячейки С10:G14 должны быть меньше либо равны ячейкам С3:G7. Покупка нового оборудования в данной модели должна быть меньше либо равна пропускная способности всех лет.
Ячейки С16:G16 должны быть равны ячейкам С17:G17. Всего количество покупок должно быть равно необходимому количеству покупок.
Задаём параметры в надстройке «Поиск решения» (рисунок 3.6).
Рисунок 3.6 — Параметры надстройки «Поиск решения»
Получаем результат (рисунок 3.7):
Рисунок 3.7 — Результат
В данном случае оптимальной стратегией является приобретение нового печатного станка в начале года 1, использование его в течение двух лет и замена в начале года 3 новым печатным станком, который затем используется до начала года 5. При этом общие расходы за четыре года составят 6,2 млн. долл.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Используя модель замены оборудования, в данной курсовой работе была решена задача оптимизации замены старого оборудования. При условии, что затраты будут минимальны и прибыль от использования нового оборудования увеличиться, оптимальной стратегией замены оборудования является приобретение нового оборудования в начале 1 года с последующим обслуживание и его заменой в 3 году, расходы на покупку и обслуживание за 4 года будут составлять $ 6 200 000. Задачи оптимизации легко решают проблему с выбором наилучшего варианта, т.е. максимизации прибыли и минимизации затрат.
Целью данной работы было рассмотрение, изучение и применение на практике модели о замене оборудования.
Принцип оптимальности является основой поэтапного решения задач динамического программирования. Типичными представителями экономических задач динамического программирования являются так называемые задачи производства и хранения, задачи распределения капиталовложений, задачи календарного производственного планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени.
Языки программирования
... типов. Основные структуры данных (списки, очереди, хеш-таблицы, двоичные деревья и пары) часто представлены особыми синтаксическими конструкциями в языках высокого уровня. Такие данные структурируются автоматически. Семантика языков программирования Существует ...
Описание характеристик динамического программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости должно быть очень общим и несколько неопределенным, так как существует необозримое множество различных задач, укладывающихся в схему динамического программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание структуры динамического программирования.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
[Электронный ресурс]//URL: https://drprom.ru/kursovaya/zamena-oborudovaniya/
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 1993. — 319 c.
- Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования.- М.: Наука, 1964. — 176 с.
- Дудорин В.И.
Моделирование в задачах управления производством. — М.: Статистика, 1980. — 232 с.
- Исследования операций в экономике: учебное пособие для ВУЗов / под ред. Кремера Н.Ш. — М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 1997. — 407 с.
- Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И.
Математические методы и модели в планировании. — М.: Экономика, 1987. — 240 с.
- Карманов В.Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1986. — 288 с.
- Колемаев В.А.
Математическая экономика.- М.: Юнити,1998. — 240 с.
- Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. — М.: Наука, 1984. — 392 с.
- Ромакин М.И.
Оптимизация планирования производства: экономико-математические модели и методы. — М.: Финансы и статистика, 1981. — 109 с.
- Таха Х.А. Введение в исследование операций. Кн.1 и 2. — М.: Мир, 1985. — 496 с.
- Фатхутдинов Р.А.
Разработка управленческого решения. Учебное пособие. — М.: Интер-Синтез, 1997. — 272 с.
- Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. — М.: Мир, 1967. — 509 с.
